Коллекция доказательств несчетности отрезка.

[Brukvalub]

notabene в сообщении #187287 писал(а):

Вопрос, а если подробно проанализировать все приведенные в первом посте доказательства, то они точно не ссылаются на теорему Кантора? То есть не возникает ли логический круг?

Не возникает, поскольку в большинстве приведенных выше фактов обосновывается, что то или иное множество - счетно. Доказательство счетности множества не требует применения диагонали Кантора.

[notabene]

Давно не листал Александрова "Введение в общую теорию множеств и функций". К примеру теорема Бэра о категориях точно не использует в своем доказательстве теорему Кантора?

[color=blue][size=9]Добавлено спустя 12 минут 37 секунд:[/size][/color]

В предыдущем посте имеется ввиду просто теорема Бэра, а не теорема Бэра о категориях.

[Yarkin]

AD в сообщении #187260 писал(а):

Зато есть более общее, и требуемое сочетание - его частный случай.

Обобщение. Несчетность прямоугольника.

[AD]

notabene в сообщении #187287 писал(а):

Вопрос, а если подробно проанализировать все приведенные в первом посте доказательства, то они точно не ссылаются на теорему Кантора? То есть не возникает ли логический круг?

Я об этом заблаговременно подумал Не, вроде не возникает. Хотя очень часто используются сходные идеи, от которых уже рукой подать до требуемого, но тут же сюжет уходит в сторону.

Самым забавным мне кажется анализ пункта 2. То есть мало кто опускается до доказательства того, что отрезок имеет меру, равную длине

Добавлено спустя 4 минуты 8 секунд:

Yarkin в сообщении #187354 писал(а):

Обобщение. Несчетность прямоугольника.

Он что-то хочет мне сказать ...

[AD]

PAV писал(а):

gris в сообщении #186945 писал(а):

Если рассмотреть отрезок как сугубо геометрическое понятие, имеющее определённую длину, то его (отрезок) нельзя уничтожить процедурой последовательного вытыкания отдельных точек, длины не имеющих. Отсюда с очевидностью следует его несчётность.

Вообще-то это доказательство проходит в исходном списке под номером 2. Только для этого нужно иметь доказанной сигма-аддитивность меры.

А по-моему, под номером 1

[Yarkin]

AD в сообщении #187402 писал(а):

Он что-то хочет мне сказать ...

Очень подробный ответ. Спасибо.

[shwedka]

Yarkin в сообщении #187354 писал(а):

Обобщение. Несчетность прямоугольника

Yarkin в сообщении #188422 писал(а):

Очень подробный ответ. Спасибо.

Глаголы Yarkin пошлет на будущей неделе, отдельным списком.

[Yarkin]

shwedka в сообщении #188428 писал(а):

Глаголы Yarkin пошлет на будущей неделе, отдельным списком.

Если сумею подобрать.

[AD]

Yarkin в сообщении #188422 писал(а):

Очень подробный ответ. Спасибо.

Какой вопрос, такой и ответ, Yarkin. Могли бы еще спросить "Ку?". Тут хоть вопросительный знак есть. Не за что.

[Yarkin]

AD в сообщении #188491 писал(а):

Какой вопрос, такой и ответ, Yarkin. Могли бы еще спросить "Ку?".

Вопрос остался, а ответ - "Ку".

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

1. Через теорему Бэра: Всякое счетное множество, очевидно, является множеством первой категории, а отрезок - второй.

2. Через теорию меры: Cчетные множества имеют меру нуль, а отрезок - меру единица.

3. Через некоторые теоремы единственности:
а) Если непрерывная функция $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ имеет производную, равную нулю всюду, кроме не более чем счетного множества точек, то $F$ - константа; тем не менее, существуют и непостоянные непрерывные функции.
б) Если ряд по системе Уолша (да и для тригонометрических, наверное, верно, но чего-то сходу ссылки не нашел ) сходится к нулю всюду, кроме не более чем счетного множества точек, то все его коэффициенты нулевые; тем не менее, существуют и ненулевые ряды Уолша.

Ну, могли бы уж нулевым пунктом классическое доказательство привести. Я его уже где-то тут на форуме излагал.

4. Существует биекция между $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ и $[0,1]$, задаваемая правилом $A \mapsto \sum_{i \in A} 2^{-(i+1)}$. А множество $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ несчётно по теореме Кантора.

[Cave]

Профессор Снэйп
Какая же это биекция, когда хвосты из единиц переходят в то же, что и соответствующие хвосты из нулей?
Вот между непериодическими подмножествами $\mathbb{N}$ и иррациональными числами из $[0;1]$ биекция строится по такому правилу, а дополнения до этих частей счётны в обоих множествах.

[Профессор Снэйп]

Cave писал(а):

Профессор Снэйп
Какая же это биекция, когда хвосты из единиц переходят в то же, что и соответствующие хвосты из нулей?

Простите, не понял. Какие ещё "хвосты".

Заданное мною отображение действительно является биекцией, в этом я твёрдо уверен. Вы сомневаетесь?

[Cave]

Всё, разобрались.

[Профессор Снэйп]

Ой, тьфу ты. Действительно ведь не биекция! Ведь у $\mathbb{N} \setminus \{ 0 \}$ и у $\{ 0 \}$ --- один и тот же образ! Оплошал, каюсь.

Впрочем, данное отображение --- сюрьекция. Для несчётности этого достаточно

А-а-а, недостаточно! Это инъекции достаточно. Вот же блин!!!