Забавное неравенство

[arqady]

Для действительных $a,$ $b$ и $c,$ одновременно не равных нулю, докажите, что
$\frac{ab}{a^2+b^2+3c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2+3b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2+3a^2}\leq\frac{3}{5}.$

[arqady]

Равенство здесь достигается не только когда

$$a=b=c.$$

[La|Verd]

arqady писал(а):

Для действительных $a,$ $b$ и $c,$ одновременно не равных нулю, докажите, что
$\frac{ab}{a^2+b^2+3c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2+3b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2+3a^2}\leq\frac{3}{5}.$

Практически эквивалентно неравенству $\frac{x}{y+z+3x}+\frac{y}{x+z+3y}+\frac{z}{x+y+3z}\geq\frac{3}{5}.$, где $x=a^2,$ $y=b^2$ и $z=c^2,$ где $x,$ $y$ и $z,$ $\geq0$. Последнее доказывается простым приведением к общему знаменателю и раскрыванием скобок.
Или я не прав?

[arqady]

La|Verd писал(а):

arqady писал(а):

Для действительных $a,$ $b$ и $c,$ одновременно не равных нулю, докажите, что
$\frac{ab}{a^2+b^2+3c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2+3b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2+3a^2}\leq\frac{3}{5}.$

Практически эквивалентно неравенству $\frac{x}{y+z+3x}+\frac{y}{x+z+3y}+\frac{z}{x+y+3z}\geq\frac{3}{5}.$, где $x=a^2,$ $y=b^2$ и $z=c^2,$ где $x,$ $y$ и $z,$ $\geq0$. Последнее доказывается простым приведением к общему знаменателю и раскрыванием скобок.
Или я не прав?

Мне непонятен Ваш термин "практически зквивалентно".
Ваше неравенство неверно. Проверьте

$$x\rightarrow\infty.$$

[daogiauvang]

Если существует одно число неположителное. Допустим $c \leq 0$ и $a,b \geq 0$
$LHS \leq \frac{ab}{a^2+b^2+3c^2} \leq \frac{1}{2} < \frac{3}{5}$

Cледует только надо доказать неравенство с неотрицательными числами
Пусть $a^2+b^2+c^2=3$
т.е $\sum\limits_{cyc}\frac{ab}{3+2c^2} \leq \frac{3}{5}$
т.е $45 \sum ab + 30 \sum (a^3b+b^3a)+ 20 \sum a^3b^3 \leq 243 +36 \sum a^2b^2 + 24a^2b^2c^2$

Очевидно: $30 \sum (a^3b+b^3a) \leq 180$ т.к $ \sum a^3b \leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$
Cледует, получим:$45 \sum ab + 20 \sum a^3b^3 \leq 63 +36 \sum a^2b^2 + 24a^2b^2c^2$
как даньше???

[arqady]

daogiauvang писал(а):

Cледует, получим:$45 \sum ab + 20 \sum a^3b^3 \leq 63 +36 \sum a^2b^2 + 24a^2b^2c^2$
как даньше???

А дальше уже никак. Ваше неравенство неверно. Проверьте

$$a=3\sqrt{\frac{3}{17}}$$

и

$$b=c=2\sqrt{\frac{3}{17}}.$$