Магические квадраты

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #188224 писал(а):

Группу из трёх взаимно ортогональных латинских квадратов 14-го порядка построила. Там даже конструкция задана с пятью переменными. так что, можно построить 120 подобных групп MOLS.

Нет там никаких переменных - просто для сохранения места и упрощения форматирования двухсимвольные числа 10, 11, 12, 13, 14 обозначены одиночными символами a, b, c, d, e. Вы, конечно, можете придать им значения в другом порядке, но смысла в этом особого нет. С таким же успехом можно все числа от 1 до 14 в MOLS заменить некоторой их другой перестановкой. Таким обрзазом, вы получите $14! = 87178291200$ других групп. Для MOLS порядка $n$ таких групп из одной какой-то соответственно можно получить $n!$ штук.

[Nataly-Mak]

Не согласна! Прочтите статью Stinson'а о построении пар ОЛК 10-го порядка, а заодно и всех пордков $n = 10(mod 12)$. Там аналогично есть три переменные x,y,z. Именно эти три перемнные можно задавать в любой комбинации. Может быть, смысла особого в этом и нет, но квадраты-то разные получаются! В этом алгоритме уж точно переменные введены не с целью форматирования и экономии места. И в книге Райзера для ОЛК 10-го порядка тоже с тремя переменными. Что, тоже для экономии места? Нет, тут какой-то другой смысл.
А о трансформации тождественной перестановки чисел я, кажется, уже писала раньше. И группы при таком преобразовании получатся не "другие", а изоморфные. Как, впрочем, и при задании зтих символьных элементов в любой комбинации, что, собственно, тоже есть трансформация тождественной перестановки чисел. Я сказала выше, что это всё будут подобные группы, имея в виду как раз изоморфность. А вот как получить другие группы, не изоморфные (то бишь всё из той же статьи Тодорова, например)?

[maxal]

Nataly-Mak
Я говорю конкретно про MOLS 14 порядка. Там нет переменных, которые приводили бы к существенно другим группам MOLS (не получающимся из исходной простым переобозначением).
В других местах, вполне допускаю, что такие переменные могут присутствовать.

[Nataly-Mak]

Так и я говорю, что получаются изоморфные, а не другие!
Вот в других местах переменные присутствуют, а ведь существенно новых групп они тоже вроде не дают. Тогда зачем же их ввели? Неужели только для экономии места и форматирования?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #188340 писал(а):

Вот в других местах переменные присутствуют, а ведь существенно новых групп они тоже вроде не дают. Тогда зачем же их ввели? Неужели только для экономии места и форматирования?

Это вы у авторов этих "других мест" спросите. Но в принципе форматирование - это вполне весомая причина.
Что же касается MOLS 14-го порядка, задумайтесь почему там присутствуют только 5 "переменных", причем аккурат на месте двухразрядных чисел. Если бы целью авторов книги было параметризовать квадраты переменными, логичнее было бы заменить все 14 чисел на переменные так, чтобы они состояли, например, из 14-ти букв a, b, c, ..., o.

[Nataly-Mak]

Тогда вообще я не понимаю! Следуя вашей логике, вообще надо было записать все элементы в символьном виде, то есть не писать от 1 до 9 цифрами, а с 10 до 14 буквами. И это совершенно правильная логика. Так почему же авторы поступили так не логично? Уверена, что в этой алогичности что-то заложено.

[maxal]

Возможно, они просто следовали записи принятой в шестнадцатеричной системе счисления.
А вообще, да, запись в символьном виде - это более логичный способ записывать латинские квадраты, в какой-то мере снимающий вопросы связанные с изоморфностью.

[Nataly-Mak]

Кстати, не будем далеко за примерами "других мест" ходить. В той же книге Холла приводится пример построения пары ОЛК 14-го порядка с помощью отрогонального массива, и тоже с тремя переменными! Может быть, в случае алгоритма, о котором я говорила выше (Stinson и Райзер), и в случае этого построения Холла введение этих переменных вызвано тем, что во всех этих квадратах получаются подквадраты 3-го порядка, как раз состоящие из этих трёх переменных? И эти подквадраты 3-го порядка можно варьировать, получая таким образом существенно новые пары ОЛК. То же самое у Холла и при построении пары ОЛК 26-го порядка, снова три переменные и тоже получаются латинские квадраты с подквадратами 3-го порядка.
Нет ли и в последнем случае построения группы MOLS 14-го порядка какой-нибудь причины введения символьных элементов? Только уж, по-моему, шестнадцатеричная система счисления здесь совершенно ни при чём. Это вы так пошутили?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #188367 писал(а):

Кстати, не будем далеко за примерами "других мест" ходить. В той же книге Холла приводится пример построения пары ОЛК 14-го порядка с помощью отрогонального массива, и тоже с тремя переменными!

А кто сказал, что в результате будут получаться изоморфные группы квадратов? Скорее всего, что разные значения переменных там будут приводить к неизоморфным квадратам, что является хорошей причиной для использования этих переменных.

Nataly-Mak в сообщении #188367 писал(а):

Только уж, по-моему, шестнадцатеричная система счисления здесь совершенно ни при чём. Это вы так пошутили? Wink

Никаких шуток. Обозначение 10 = a, 11 = b, 12 = c, 13 = d, 14 = e, 15 = f - это стандартное обозначение, принятое в шестнадцатеричной системе счисления (как впрочем и многих других систем счисления с основаниями большими 10).

[Nataly-Mak]

maxal писал(а):

А кто сказал, что в результате будут получаться изоморфные группы квадратов? Скорее всего, что разные значения переменных там будут приводить к неизоморфным квадратам, что является хорошей причиной для использования этих переменных.
Никаких шуток. Обозначение 10 = a, 11 = b, 12 = c, 13 = d, 14 = e, 15 = f - это стандартное обозначение, принятое в шестнадцатеричной системе счисления (как впрочем и многих других систем счисления с основаниями большими 10).

Так я же и объяснила, что варьирование подквадратов 3-го порядка даёт неизоморфные группы. И это хорошая причина для введения переменных! Не понимаю, почему вы повторяете мои же аргументы? Я же спрашиваю, какая причина у авторов в последнем примере вводить пять символьных элементов?
Да уж про обозначения в шестнадцатеричной системе я как-нибудь знаю. См., например, книгу:
http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html
Но для чего же в латинских квадратах именно в данном конкретном случае записывать числа в шестнадцатеричной системе счисления? Неужели только для экономии места и форматирования? Тогда ещё раз повторю: логичнее было бы записать все элементы в виде символов.

Добавлено спустя 20 минут 50 секунд:

Ещё такой вопрос. Приведена одна и та же теорема в двух разных изданиях книги. В издании 2007 г. для группы MOLS 14-го порядка приведена некая матрица ($a(13,5;1,1;1)$ quasi-difference matrix). Эта матрица была здесь показана. В издании 1996 г. приведена группа из трёх MOLS 14-го порядка в явном виде. Спрашивается: существует ли связь между матрицей, приведённой в позднем издании, и явными квадратами, приведёнными в раннем издании? Или это совершенно разные группы MOLS 14-го порядка? Если это разные группы, как построить вторую группу (по матрице)? Если это одна и та же группа, то какова связь квадратов с матрицей?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #188478 писал(а):

Я же спрашиваю, какая причина у авторов в последнем примере вводить пять символьных элементов?

Вот у них и спросите. Я свое мнение уже высказал.

[Nataly-Mak]

Спрашивать у авторов - дело гиблое. И вы это прекрасно знаете! Я уже три раза пыталась спрашивать (в одном из этих случаев вы принимали участие). Один раз получила ответ совершенно неудовлетворительный, два раза не получила никакого ответа. Больше не буду спрашивать. У меня создалось впечатление, что авторы совсем не отвечают перед читателями за то, что они написали. Если хотите, читайте и понимайте сами, как можете, если не понимаете - не читайте!

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Построила два ортогональных квадрата 12-го порядка.
Может быть, совместными усилиями и вот это одолеем?

Там усилий на две строчки

l = ["00 01 02 03 04 05 10 11 12 13 14 15",
     "00 03 10 01 13 15 02 12 05 04 11 14",
     "00 12 01 15 05 13 03 14 02 11 10 04",
     "00 04 15 14 02 11 12 10 13 01 03 05",
     "00 10 12 02 11 01 13 15 04 14 05 03"]

sq = [[[(int(x[0]) + i) % 2 * 6 + (int(x[1]) + j) % 6 + 1 for x in s.split(' ')]
      for i in range(2) for j in range(6)] for s in l]

for s in sq:
    for x in s:
        print(' '.join(str(y) for y in x))
    print()

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7
3 4 5 6 1 2 9 10 11 12 7 8
4 5 6 1 2 3 10 11 12 7 8 9
5 6 1 2 3 4 11 12 7 8 9 10
6 1 2 3 4 5 12 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6
8 9 10 11 12 7 2 3 4 5 6 1
9 10 11 12 7 8 3 4 5 6 1 2
10 11 12 7 8 9 4 5 6 1 2 3
11 12 7 8 9 10 5 6 1 2 3 4
12 7 8 9 10 11 6 1 2 3 4 5

1 4 7 2 10 12 3 9 6 5 8 11
2 5 8 3 11 7 4 10 1 6 9 12
3 6 9 4 12 8 5 11 2 1 10 7
4 1 10 5 7 9 6 12 3 2 11 8
5 2 11 6 8 10 1 7 4 3 12 9
6 3 12 1 9 11 2 8 5 4 7 10
7 10 1 8 4 6 9 3 12 11 2 5
8 11 2 9 5 1 10 4 7 12 3 6
9 12 3 10 6 2 11 5 8 7 4 1
10 7 4 11 1 3 12 6 9 8 5 2
11 8 5 12 2 4 7 1 10 9 6 3
12 9 6 7 3 5 8 2 11 10 1 4

1 9 2 12 6 10 4 11 3 8 7 5
2 10 3 7 1 11 5 12 4 9 8 6
3 11 4 8 2 12 6 7 5 10 9 1
4 12 5 9 3 7 1 8 6 11 10 2
5 7 6 10 4 8 2 9 1 12 11 3
6 8 1 11 5 9 3 10 2 7 12 4
7 3 8 6 12 4 10 5 9 2 1 11
8 4 9 1 7 5 11 6 10 3 2 12
9 5 10 2 8 6 12 1 11 4 3 7
10 6 11 3 9 1 7 2 12 5 4 8
11 1 12 4 10 2 8 3 7 6 5 9
12 2 7 5 11 3 9 4 8 1 6 10

1 5 12 11 3 8 9 7 10 2 4 6
2 6 7 12 4 9 10 8 11 3 5 1
3 1 8 7 5 10 11 9 12 4 6 2
4 2 9 8 6 11 12 10 7 5 1 3
5 3 10 9 1 12 7 11 8 6 2 4
6 4 11 10 2 7 8 12 9 1 3 5
7 11 6 5 9 2 3 1 4 8 10 12
8 12 1 6 10 3 4 2 5 9 11 7
9 7 2 1 11 4 5 3 6 10 12 8
10 8 3 2 12 5 6 4 1 11 7 9
11 9 4 3 7 6 1 5 2 12 8 10
12 10 5 4 8 1 2 6 3 7 9 11

1 7 9 3 8 2 10 12 5 11 6 4
2 8 10 4 9 3 11 7 6 12 1 5
3 9 11 5 10 4 12 8 1 7 2 6
4 10 12 6 11 5 7 9 2 8 3 1
5 11 7 1 12 6 8 10 3 9 4 2
6 12 8 2 7 1 9 11 4 10 5 3
7 1 3 9 2 8 4 6 11 5 12 10
8 2 4 10 3 9 5 1 12 6 7 11
9 3 5 11 4 10 6 2 7 1 8 12
10 4 6 12 5 11 1 3 8 2 9 7
11 5 1 7 6 12 2 4 9 3 10 8
12 6 2 8 1 7 3 5 10 4 11 9

Nataly-Mak писал(а):

Только уж, по-моему, шестнадцатеричная система счисления здесь совершенно ни при чём. Это вы так пошутили?

Например, на стр. 212 у них прямо написано:

Цитата:

In the SOLS(14), 10, 11, and 12 are replaced by a, b, and c, respectively.

Nataly-Mak писал(а):

Пожалуйста, пришлите мне эту главу именно из издания 2007 года.

Может, лучше сразу всё прислать? Там шесть с небольшим мегабайт в pdf.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak писал(а):

Ещё три квадрата пока не построила, но теперь уже знаю, как их строить.
Может быть, совместными усилиями и вот это одолеем?
Teorem [2037] $N(14)>=3$. This follows from the existence of $a(13,5;1,1;1)$ quasi-difference matrix:

0 12 10 0 6 12 0 10 8 – 7 0 1 6 9
4 0 10 10 0 5 11 0 4 0 – 8 3 5 1
4 12 0 2 4 0 12 7 0 11 0 – 9 2 3
10 4 12 11 7 8 3 9 1 11 7 8 – 0 0
5 2 6 10 4 12 6 5 2 3 9 1 0 – 0

(из той же книги Handbook of Combinatorial Designs)
Что это за матрица? Как из неё получить группу MOLS 14-го порядка, состоящую из трёх квадратов? Это очень похоже на то, что в статье Тодорова.

Не поняла! Вы мне привели построение группы MOLS 12-го порядка. Но я же написала, что эту группу уже построила (и даже первые два квадрата из этой группы привела, которые в точности совпадают с построенными вами). А одолеть я просила совсем другое - MOLS 14-го порядка (см. цитату). А это можете одолеть? А группу из 3-х MOLS 14-го порядка из статьи Тодорова? По поводу группы из 3-х MOLS 14-го порядка мне тоже уже указали, где она дана в явном виде. Меня интересует вопрос: это та же самая группа, которая по приведённой матрице получается, или нет?
Далее: что там написано на 212 стр., напишите, пожалуйста по-русски (не знаю английского).
Нужную главу мне уже прислали.
Кажется, догадываюсь, что на стр. 212 написано: a, b, c есть числа 10, 11, 12 в четырнадцатеричной системе счисления. Но скажите, пожалуйста, это в каком контексте? Вот так приводить цитату, выдернутую из текста, не годится. А ведь в том случае, который здесь обсуждался, про a, b, c, d, e ничего не написано вроде бы. И с какой стати в латинском квадрате, заполненном десятичными числами, надо часть из этих чисел записывать в шестнадцатеричной системе? Нелепость какая-то!

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Может быть, совместными усилиями и вот это одолеем?
Не поняла! Вы мне привели пострение группы MOLS 12-го порядка. Но я же написала, что эту группу уже построила (и даже первые два квадрата из этой группы привела, которые в точности совпадают с построенными вами).

А, это я вас не понял. Я думал, что эта фраза относится к тексту выше, а не к тексту ниже.

Nataly-Mak писал(а):

А одолеть я просила совсем другое - MOLS 14-го порядка (см. цитату). А это можете одолеть?

Сейчас читаю, может, что-нибудь и придумаю, если кто-нибудь раньше меня не успеет.

Nataly-Mak писал(а):

И с какой стати в латинском квадрате, заполненном десятичными числами, надо часть из этих чисел записывать в шестнадцатеричной системе?

А кто сказал, что это десятичные числа?