Частично упорядоченные множества

[Spook]

Доказать, что в ЧУМе есть максимальная цепь (по включению).

ЧП на $A$ называется рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение $\leqslant$. Цепь - подмножество $B$ множества $A$, линейно упорядоченное отношением $\leqslant\cap B^2$

[lofar]

Примените лемму Цорна ко множеству всех цепей в $A$.

[Spook]

Мне тут один товарищ посоветовал доказавыть с помощью трансфинитной индукции, но как - не сказал

lofar писал(а):

Примените лемму Цорна ко множеству всех цепей в $A$.

То есть фактически будет использована аксиома выбора? Не понятно все равно, как делать. Возьмем все цепи в $A$ и упорядочим их отношением включения. Получилось еще одно ЧУМ, назовем его - $X$. Чтобы применить лемму Цорна, нужно чтобы каждое подмножество множества $X$ имело верхнюю грань. Разве это так?

[AD]

Spook в сообщении #188369 писал(а):

Чтобы применить лемму Цорна, нужно чтобы каждое подмножество множества $X$ имело верхнюю грань. Разве это так?

Не каждое подмножество, а каждая цепь! (то есть в Вашем случае цепь из цепей). Если бы "каждое подмножество", то лемма Цорна была бы тривиальна.

Spook в сообщении #188369 писал(а):

Мне тут один товарищ сказал, что доказавыть нужно с помощью трансфинитной индукции, но как - не сказал
...
То есть фактически будет использована аксиома выбора?

Ну аксиома выбора, лемма Цорна и трансфинитная индукция - это примерно одно и то же. В разных обличиях.

[Spook]

AD, так у меня множество специально собрано из цепей. А про про трансфинитную индукцию я знаю только то, что это обобщение обычной индукции на ординальные числа.

[AD]

Spook в сообщении #188383 писал(а):

AD, так у меня множество специально собрано из цепей.

Да, спасибо, я в курсе. Потому и подчеркнул:

AD в сообщении #188370 писал(а):

цепь из цепей

[gefest_md]

Цитата:

Доказать, что в ЧУМе есть максимальная цепь (по включению).

А можно переформулировать задачу так, чтобы использовать понятие отношения (т.е.множества упорядоченных пар)?
"Если отношение $M$ есть частичный порядок на некотором множестве $A$, то (что?)."
Цепь как я понял это множество на котором определено отношение со свойствами:
рефлексивное, транзитивное, антисимметричное и $\forall x\forall y((x,y)\in M\vee(y,x)\in M).$

Попробую: Существует $B\subseteq A$, что $\neg\exists T(T\subseteq A\wedge B\subseteq T\wedge B\neq T)$

[Spook]

AD, я кажется понимаю, что Вы имеете ввиду, но только в лемме Цорна никаких цепей все равно нет (по крайней мере в моей): "ЧУМ, каждое из линейно упорядоченных подмножеств которого имеет верхнюю грань, содержит максимальный элемент."

gefest_md писал(а):

Существует $B\subseteq A$, что $\neg\exists T(T\subseteq A\wedge B\subseteq T\wedge B\neq T)$

Да, если сказать, что T - ЛУМ (линейно упор. мно-во), то, по-моему, так и есть.

Вот, рассмотрели мы $X$. Берем $x$ - цепь в нем. Объединение элементов $x$ - это цепь в $X$? Оно является мажорантой $x$. То есть $X$ имеет хотя бы один макимальный элемент. Чувствую, что недалеко от решения, упорядочить бы это все как-нибудь

[Чудо-в-перьях]

Spook писал(а):

AD, я кажется понимаю, что Вы имеете ввиду, но только в лемме Цорна никаких цепей все равно нет (по крайней мере в моей): "ЧУМ, каждое из линейно упорядоченных подмножеств которого имеет верхнюю грань, содержит максимальный элемент."

Есть еще формулировка с цепями:"Если в ЧУМе X всякая цепь имеет верхнюю грань, то в X существует максимальный элемент"