Задача по геометрии ЕГЭ (пирамиды)

[d.natali]

Задали вот такую задачу:
Основанием пирамиды FABCD является прямоугольник ABCD. Плоскость AFC перпендикулярна плоскости ABC, тангенс угла FAC равен 16/7, тангенс угла между прямой BC и плоскостью AFC равен 3. Точка М лежит на ребре BC, ВМ равно 2/5 ВС. Точка L лежит на прямой AF и равноудалена от точек М и С. Объем пирамиды LAMC равен 48. Центр сферы, описанной около пирамиды FABCD, лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите радиус этой сферы.

Сделала чертеж и не могу разобрать, что к чему... Все, что могу сделать по решению, найти площадь пирамиды LMAC, а затем ее высоту. Что дальше с этим делать не знаю. Помогите, пожалуйста, с решением.

[gris]

Нам надо найти $R$ - радиус сферы описанной вокруг пирамиды. Её центр лежит на оснновании. Диагональное сечение пирамиды перпендикулярно основанию. Это всё по условию задачи. Вот и будеем всё выражать через R.
Чему равны диаагонали основания? Треугольник FAC какой? можно ли найти FA и FC? Что такое угом между прямой и плоскостью? Что является проекцией прямой ВС на плоскость AFC? Можно ли найти стороны основания? Вот сколько вопросов.

Кстати, аналогичная задача была сегодня.

[d.natali]

а как эти тангенсы углов высчитать?

[gris]

тангенсы у Вас даны. Но лучше от тангенсов перейти к косинусам и синусам.

Вы идею уловите. Сфера и два этих тангенса нам нужны, чтобы выразить объём пирамиды FABC через радиус сферы.

Все дела на отрезке ВС нужны, чтобы найти отношение объёма пирамиды FABC к объёму пирамиды LAMC.

Для этого нам нужно найти по отдельности отношение оснований и высот. Эти отношения сводятся к отношению отрезков на ВС.

[d.natali]

Спасибо за помощь. Буду пробовать решить

[gris]

Вдогонку. Если сделать "вид сверху", то будет понятно, что положение точки F совершенно неважно. Да и само решение упростится. Идея же останется - выразить объём пирамиды LAMC через R.
Если обозначить через О проекцию точки L на плоскость АВС, подумать, на пересечении каких прямых она лежит, да с помощью Фалеса найти длину АО (то есть выразить через R), то тангенс 16/7 как раз и пригодится.
А вообще, когда тренируетесь, не бойтесь находить в задачах лишнее. Кто знает, что на ЕГЭ попросят найти. Вдруг не радиус описанной окружности, а объём пирамиды FABC или радиус вписанного шара.

[Батороев]

gris писал(а):

А вообще, когда тренируетесь, не бойтесь находить в задачах лишнее. Кто знает, что на ЕГЭ попросят найти. Вдруг не радиус описанной окружности, а объём пирамиды FABC или радиус вписанного шара.

Позволю с Вами не согласиться.
В течение последних нескольких лет я уже два раза "сдавал" ЕГЭ со своими детьми.
И на основании такого "опыта" пришел к выводу, что для успешной сдачи, как раз то и необходимо научиться выявлять наиболее важное в задаче и находить наикратчайшие пути в ее решении.
Например, в задаче, на которую ссылался gris, решая по варианту ewert'a, можно было получить выигрыш минут в 20, что при сдаче ЕГЭ уже немаловажно.

В рассматриваемой задаче, на мой взгляд, более оптимально, продолжив AF до пересечения с перпендикуляром из т.С в точке N, рассмотреть объем пирамиды NAMC, как пропорцию к объему пирамиды LAMC. Эта пропорция определяется только отношением высот указанных пирамид.

[gris]

Ув. Батороев!
Я с Вами совершенно согласен. И я специально сказал "когда тренируетесь". Умение находить быстрое, эффектное и красивое решение приходит с опытом. Но не с опытом ознакомления с красивыми и быстрыми решениями. А опытом самостоятельного поиска таковых.

Я думаю, что ученику весьма полезно рассмотреть эту (как и другую) задачу со всех сторон, решить её десятью способами, проделать массу лишней и ненужной работы, найти то, что и не спрашивается. И может оказаться, что ученик сам дойдёт до ещё более быстрого и красивого решения, чем ему предлагали.
Кстати, если в той задаче рассмотреть проекцию всего чертежа на плоскость основания, то она будет решаться ещё быстрее, практически устно.
Школьники,как правило, делают всегда один единственный чертёж даже к стереометрической задаче. Ценится умение так выбрать направление проекции, чтобы на одном чертеже отразить все особенности пространственной фигуры. А часто бывает достаточно начертить отдельно сечение, проекцию на какую-то плоскость, чтобы появились свежие идеи.

Я даже выскажу такую мысль, что ученику не следует подсказывать наилучшие варианты. Надо давать толчок просто для начала движения, пусть даже в неверном направлении. А верное он и сам найдёт. Разумеется, не для всех годится. Большинству надо просто сдать домашку и всё.

А на самом экзамене, разумеется не нужно проделывать лишнюю работу.

[ludik]

Подскажите, как можно использовать то, что LC=LM в нахождении высоты пирамиды LACM.