конформное отображение кольца в кольцо

[passenger]

Прошу помощи в решении следующей задачи:

1. Существует ли конформное отображение кольца $r_1 < \left| z \right| < r_2$ в кольцо $R_1 < \left| \omega \right| < R_2$? Если существует, то какое?

[citadeldimon]

Посмотри книгу Голузин "Геометрическая теория функций комплексного переменного ", там полностю описаны конформные отображения областей (односвязных и много).

[shwedka]

citadeldimon писал(а):

Посмотри книгу Голузин "Геометрическая теория функций комплексного переменного ", там полностю описаны конформные отображения областей (односвязных и много).

Конкретнее, посмотрите там Теорему 2 на стр. 208. Элементарное рассуждение там, полстраницы, показывает, что при отображении кольца на кольцо отношение радиусов сохраняется.

[passenger]

Спасибо!

А вот ещё две задачки:

1. Доказать, что если последовательность $\{f_n(z)\}$ такова, что $\{f_n(z)\}$ аналитичны в $D$, где $D$ - область, при этом $\{Re f_n(z)\}$ сх-ся равномерно внутри $D$, $\{f_n(z_0)\}$ сх-ся в точке $z_0$ из области $D$, то $\{f_n(z)\}$ сх-ся равномерно внутри $D$.

2. Доказать, что если радиус сходимости ряда $f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} a_nz^n$ равен $1$ и $a_n \geqslant 0$, то точка $z = 1$ является особой точкой для функции $f(z)$.

Буду очень благодарен всем, кто поможет в решении этих задачек!!!