аксиомы ZFC и формализация тождества

[Svеznoy]

1.Аксиома объемности: $\forall a_1, \forall a_2 (\forall b(b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1= a_2$
2.Аксиома пустого множества: $\exists a \forall b (b \notin a)$
3.Аксиома множества подмножеств: $\forall a \exists b \forall c(c \in b \leftrightarrow \forall d(d \in c \to d \in a)$

Я не вижу восклицательных знаков после кванторов существования, не вижу способа установить тождество пустых множеств по аксиоме объемности и алгоритма образования множества всех подмножеств, гарантирующего единственность этого множества.

Может кто-нибудь подскажет, как доказывается:
1. $\exists a \forall b (b \notin a) \to \exists ! a \forall b (b \notin a)$
2. $\forall a \exists b \forall c(c \in b \leftrightarrow \forall d(d \in c \to d \in a) \to$
$\forall a \exists ! b \forall c(c \in b \leftrightarrow \forall d(d \in c \to d \in a)$

Мне казалось, что единственность существования не разрешима в ZFC, интересно посмотреть, на что опирается доказательство.

И еще о двойственности,
отношения равенства, неравенства, и включения множеств, записанные через логические связки, например, так:
$\forall a \forall b (a \subseteq \land b \subseteq a \leftrightarrow a=b)$,
$\forall a \forall b (a \subseteq b \lor b \subseteq a) \leftrightarrow a \ne b)$ допускают существование двойственной группы отношений:
$\forall a \forall b ((a\subset|| b \land b\subset|| a) \leftrightarrow a || b)$
$\forall a \forall b (((a\subset|| b \lor b\subset|| a)) \leftrightarrow a | b)$,
В итоге не понятно, можно ли вообще сформулировать равенство, применительно к пустому или бесконечному множеству.

Приведу пример, на случай, если покажется, что предположение о не единственности пустого множества и множества подмножеств покажется абсурдным или противоречивым.
Посмотрев на аксиому множества подмножеств $\forall a \exists b \forall c(c \in b \leftrightarrow \forall d(d \in c \to d \in a)$ спокойно принимаем, что $a=\varnothing, b= \varnothing$, или $a=\varnothing, b= \{\varnothing\}$, или $ a=\varnothing, b= \{`\varnothing,\varnothing` \}$, после чего различаем пустые множества по их подмножествам. А можно так:
$\exists `e \forall a(a \notin `e)$
$\exists e` \forall a(a \notin e`)$
$`e \neq e`$

[AD]

Svеznoy в сообщении #186903 писал(а):

не вижу способа установить тождество пустых множеств по аксиоме объемности

$(\forall b(b\notin a_1))\&(\forall b(b\notin a_2))$ $\Rightarrow$ $\forall b(b\in a_1\leftrightarrow b\in a_2)$ $\Rightarrow$ $a_1=a_2$

P.S. Где-то я уже видел этот ник ...

[Svеznoy]

AD писал(а):

Svеznoy в сообщении #186903 писал(а):

не вижу способа установить тождество пустых множеств по аксиоме объемности

$(\forall b(b\notin a_1))\&(\forall b(b\notin a_2))$ $\Rightarrow$ $\forall b(b\in a_1\leftrightarrow b\in a_2)$ $\Rightarrow$ $a_1=a_2$

P.S. Где-то я уже видел этот ник ...

Было дело, обсуждали задачку Литлвуда и теорему Кантора.
По поводу приведенной формулы.
Здесь аксиома объемности – логическое следствие некоего утверждения, истинность которого не установлена, так я понимаю ? В таком случае это утверждение независимо от аксиомы. Импликация истинна, даже при ложной посылке. Так что из отрицания первой конъюнкции следует тоже самое. Она просто не схватывает понятие пустого множества. Во второй импликации посылка и следствие истинны, т.к. это аксиома.

[AD]

Svеznoy в сообщении #187106 писал(а):

Здесь аксиома объемности – логическое следствие некоего утверждения

Уже это не понял. Как это аксиома - следствие??? Говорите по-человечески.

[Svеznoy]

Я тоже не понял, почему вы записали, что аксиома: $(\forall b(b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1= a_2$ следует: ($ \to$) из непонятно откуда взявшегося утверждения с сомнительной истинностью. Может быть это утверждение или сама импликация уже доказаны исходя из других аксиом ? Тогда приведите их.

[AD]

Svеznoy в сообщении #187178 писал(а):

из непонятно откуда взявшегося утверждения с сомнительной истинностью.

Это была посылка теоремы. Это "утверждение с сомнительной истинностью" как раз и читается "пусть существуют два пустых множества $a_1$ и $a_2$". Из него простыми логическими манипуляциями следует посылка аксиомы, и, следовательно, заключение аксиомы: $a_1=a_2$.

[Svеznoy]

Какими такими простыми логическими манипуляциями ?
Приведенная вами формула - это не теорема. Это посылка к теореме, которой я пока не вижу.
Посылка (ваша формула) звучит так: Если существует два пустых множества, то из этого следует, что они равны.
А доказательство то где ?

[AD]

Теорема. Если $a_1$ и $a_2$ - пустые множества, то $a_1=a_2$.

Доказательство. Дано, что $\forall b(b\notin a_1)$ и $\forall b(b\notin a_2)$, то есть $(\forall b(b\notin a_1))\&(\forall b(b\notin a_2))$. Пользуясь теоремами логики предикатов $((\forall x A(x))\&(\forall x B(x)))\to \forall x (A(x)\&B(x))$ и $(A\&B)\to(\overline{A}\leftrightarrow \overline{B})$, приводим условие к виду $\forall b(b\in a_1\leftrightarrow b\in a_2)$. Наконец, пользуясь аксиомой объемности, делаем из установленного $\forall b(b\in a_1\leftrightarrow b\in a_2)$ вывод, что $a_1=a_2$. $\square$

Если Вы не можете понять даже это, лучше кончайте заниматься теорией множеств.

[Svеznoy]

Я непонятливый, с детства.
Вы правильно, сказали, что для Вашего доказательства нужно воспользоваться известными (печально) логическими манипуляциями.
Объясните мне, пожалуйста, с какой стати Вы квантор выносите за пределы отрицания ?
Я не спорю, в каких-то частных, редчайших и заранее обоснованных случаях это может быть допустимо. Но по общему правилу утверждение с квантифицированными переменными отрицается вместе с квантором.
Вы не стали трогать квантор, чтобы теорема удалась ?
Так я его трону, чтобы она не состоялась. Может быть Вы запретите мне это делать ? На каком основании, позвольте спросить ?
Отрицание $\forall b(b \notin a_1 \land b\notin a_2)$ это противоречие : $\exists b(b \in \varnothing_1) \leftrightarrow \exists b(b \in \varnothing_2)$, из которого, естественно, можно вывести все что хочешь.

Может быть Вы воспользовались каким-то правилом (явно сформулированным в ZFC или логике предикатов или, может быть, в теории доказательств), определяющим когда в доказательстве нужно отрицать выражения с квантифицированными переменными, с участием квантора, а когда нет.
Боюсь, что избавление от общего правила, согласно которому: отрицание выражений с квантифицированными переменными всегда должно быть внешним, может привести только к захватывающим дух, головокружительным высотам самого дна противоречивости: "если для доказательства произвольной теоремы содержащей квантифицированные переменные, чтобы не вывалить на всеобщее обозрение противоречие в виде формальной записи, нужно чтобы отрицание стояло под квантором - поскорее его туда прячте, тогда противоречие затаится в содержании выражения, которое формально будет выглядеть вполне пристойно".
Так доказать можно почти все, можно даже диссертацию написать о пределах эффективности использования метода свободного выбора отрицания в пропозиционных формулах с участием квантифицированных переменных для доказательства произвольных утверждений.
Интересно только, какова цена таким доказательствам.

Я Вам еще раз говорю, приведенная Вами формула – это посылка в том смысле, что в ней использовано отрицание под квантором. Вам надо доказать, что именно в данном случае нужно (или хотя бы можно) использовать именно это отрицание, а не общее правило отрицания с квантором. Т.е. предъявить формальное правило о котором я говорил, подставить в него эту формулу и убедить меня в своей правоте. Боюсь я буду долго ждать Вашего ответа.

Вот вам частный пример Вашего "доказательства":
$\forall a (a \notin \{0,1\} \land a \notin \{0,1,2\}) \to \forall a (a \in \{0,1\} \leftrightarrow a \in \{0,1,2\}) \to $
$\{0,1\}=\{0,1,2\}$
А вот как должно быть по общему правилу:
$\forall a (a \notin \{0,1\} \land a \notin \{0,1,2\}) \to \exists a (a \in \{0,1\} \leftrightarrow a \in \{0,1,2\}) \to$
$ \{0,1\} \neq\{0,1,2\}$

Применительно к пустому множеству, имеем :
$\forall b (b \notin a_1 \land b \notin a_2) \to \exists b (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 \neq a_2$

Остается только процитировать Ваше: "Если Вы не понимаете даже этого, лучше кончайте заниматься теорией множеств."

[Xaositect]

Svеznoy в сообщении #187805 писал(а):

Вот вам частный пример Вашего "доказательства":
$\forall a (a \notin \{0,1\} \land a \notin \{0,1,2\}) \to \forall a (a \in \{0,1\} \leftrightarrow a \in \{0,1,2\}) \to $
$\{0,1\}=\{0,1,2\}$

Все верно.
Если {0,1} и {0,1,2} пустые, то они равны.
Из ложной посылки следует все, что угодно.

[Svеznoy]

Вот и я о том - нужно отрицать вместе с квантором, тады равенства не будет, а что делать с серединным противоречием, даже не знаю.

Добавлено спустя 13 минут 27 секунд:

Вообще все это скверно пахнет. Похоже сама запись противоречива, неважно равны пустые множества или нет.

[Xaositect]

Svеznoy писал(а):

Вот и я о том - нужно отрицать вместе с квантором, тады равенства не будет, а что делать с серединным противоречием, даже не знаю.

Я не понимаю, что вам не нравится.
AD привел вам доказательство утверждения о единственности, пропустив муторные логические преобразования с кванторами, которые можно восстановить.

[Svеznoy]

Xaositect писал(а):

Svеznoy в сообщении #187805 писал(а):

Вот вам частный пример Вашего "доказательства":
$\forall a (a \notin \{0,1\} \land a \notin \{0,1,2\}) \to \forall a (a \in \{0,1\} \leftrightarrow a \in \{0,1,2\}) \to $
$\{0,1\}=\{0,1,2\}$

Цитата:

Все верно.
Если {0,1} и {0,1,2} пустые, то они равны.
Из ложной посылки следует все, что угодно.

Цитата:

Я не понимаю, что вам не нравится.
AD привел вам доказательство утверждения о единственности, пропустив муторные логические преобразования с кванторами, которые можно восстановить.

Я хочу на них посмотреть

[Xaositect]

$$(b\notin a_1) \rightarrow (b\in a_1 \equiv \mathbf{False})$$

$$(b\notin a_1) \& (b\notin a_2) \rightarrow (b\in a_1 \equiv \mathbf{False} \equiv b\in a_2)$$

$$(\forall b)((b\notin a_1 \& b\notin a_2) \rightarrow (b\in a_1 \equiv b\in a_2))$$

Применим истинное утверждение

$$(\forall x A(x)\rightarrow B(x)) \rightarrow (\forall x A(x)\rightarrow \forall x B(x))$$

1.

$$((\forall b)(b\notin a_1 \& b\notin a_2)) \rightarrow (\forall b (b\in a_1 \equiv b\in a_2))$$

Пусть

$$a_1$$

и

$$a_2$$

пустые, т.е.

$$\forall b (b\notin a_1)$$

,

$$\forall b (b\notin a_2)$$

Применяем еще одну тавтологию,

$$(\forall x A(x) \& \forall x B(x))\rightarrow \forall x (A(x)\&B(x))$$

$$(\forall b)(b\notin a_1 \& b\notin a_2)$$

Учитывая (1),

$$\forall b (b\in a_1 \equiv b\in a_2)$$

И, наконец, по аксиоме объемности

$$a_1=a_2$$

[AD]

Svеznoy в сообщении #187805 писал(а):

Объясните мне, пожалуйста, с какой стати Вы квантор выносите за пределы отрицания ?

Кванторы с отрицаниями у меня никак вообще не взаимодействуют.