площадь поверхности вращения

[leonovaelena]

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг заданной оси.
L: \rho=2sin\varphi, полярная ось.
Подскажите пожалуйста хотя бы формулу или с чего начать!!!

[ewert]

Например, с того, что $L=\int2\pi\,y\cdot dl$, где интеграл берётся вдоль всей кривой, $dl$ -- это элемент длины кривой, и лучше всего его выписать непосредственно в полярных координатах (соответственно, и $y$ тоже).

[Brukvalub]

ewert в сообщении #187793 писал(а):

Например, с того, что $L=\int2\pi\,y\cdot dl$, где интеграл берётся вдоль всей кривой, $dl$ -- это элемент длины кривой

Эту формулу нужно писать так:

\[ L = \int {2\pi \left| y \right|} dl \]

[ewert]

Что вижу, о том и пою. В смысле как хочу, так и пишу. И докажите, что мой вариант неверен!

[Brukvalub]

ewert в сообщении #187798 писал(а):

И докажите, что мой вариант неверен!

Он неприменим к случаю, когда вращаемая вокруг оси ОХ кривая находится ниже этой оси.

[ewert]

вот и докажите, что она ниже (хоть чуток)

[leonovaelena]

ewert писал(а):

Например, с того, что $L=\int2\pi\,y\cdot dl$, где интеграл берётся вдоль всей кривой, $dl$ -- это элемент длины кривой, и лучше всего его выписать непосредственно в полярных координатах (соответственно, и $y$ тоже).

а чему будет равно y и dL???

[ewert]

раз уж Вам подсунули такую задачу -- то и формулы тоже должны были дать, да они и стандартны. В частности, просто по теореме Пифагора $dl=\sqrt{(d\rho)^2+(\rho\,d\varphi)^2}$, и надо лишь вынести из-под корня дифференциал угла.

[leonovaelena]

ewert писал(а):

раз уж Вам подсунули такую задачу -- то и формулы тоже должны были дать, да они и стандартны. В частности, просто по теореме Пифагора $dl=\sqrt{(d\rho)^2+(\rho\,d\varphi)^2}$, и надо лишь вынести из-под корня дифференциал угла.

Задачу подсунули, а формулы не дали!
Ищу их в инете - не могу найти!
Нашла dl=2d\varphi Подскажите пожалуйста, правильно ли и что подставлять вместо y!

[ewert]

нет, Лена, так неспортивно.

Есть стандартный переход от полярных координат к декартовым:

$$\begin{cases} x=\rho\,\cos(\varphi),\\ y=\rho\,\sin(\varphi).\end{cases}$$

Из чего, в частности, в Вашем конкретно-замечательном случае следует $dl=2\,d\varphi$, но ведь это никакая не загадка, а попросту результат тупой подстановки стандартной замены в стандартную формулу для дифференциала длины. И очень жаль, что Вы не дошли до этого сами, а по всяким инетам рыскали.

Но, может, хоть сейчас доведёте до конца -- сами?