Вопрос по логике

[Dan B-Yallay]

Как называется теория, описывающая вещественные числа? И теорией какого порядка она является?

[Феликс Шмидель]

Эта теория называется теорией вещественных чисел.
Порядок теории зависит от порядка логики, на которой она основана. Обычно это логика первого порядка (не содержащая переменных утверждений). Теория вещественных чисел, как и любая другая математическая теория задаётся аксиомами.
Однако есть различные способы определения вещественных чисел как множества, например, как разбиения множества рациональных чисел. В этом случае теория вещественных чисел является частью теории множеств.

[Dan B-Yallay]

В таком случае у меня вопрос. Согласно Теореме Левенгейма-Сколема любая непротиворечивая теория первого порядка имеющая модель, имеет и счетную модель.

Множество вещественных чисел несчетно.

Я что-то неправильно понимаю или существует счетная модель вещественных чисел?
Где можно найти что-либо по этой теме?

[lofar]

Теория вещественных чисел --- теория 2-го порядка. Все аксиомы, кроме аксиомы полноты, используют предметные переменные. Аксиома полноты содержит предикатные переменные (для любых двух подмножеств...).

Теория вещественных чисел категорична, то есть любые две модели этой теории изоморфны.

[Феликс Шмидель]

Я бы не стал утверждать это так категорично. Есть теория вещественных чисел 2-го порядка, и есть теория вещественных чисел 1-го порядка. Для теории 1-го порядка есть неизоморфные модели, но никакого противоречия в этом нет. Несчётность множества вещественных чисел означает несуществование функции взаимно-однозначного соответствия между этим множеством и множеством натуральных чисел. Внутри счётной модели такой функции нет, так что эта модель продолжает оставаться "несчётной" по отношению к самой себе. Эта функция является множеством, не принадлежащим модели, поэтому по отношению к расширенной совокупности множеств, модель является счётной.

[Dan B-Yallay]

То есть в теории вещественных чисел первого порядка аксиомы полноты нет?

Под аксиомой полноты я понимаю утверждение

"Всякое ограниченное сверху подмножество вещественных чисел имеет точную верхнюю грань"

или эквивалетное этому.

[Феликс Шмидель]

Почему же нет? Аксиома полноты обычно формулируется на языке теории множеств. Обычная теория множеств это теория первого порядка, в которой выражение "для любых подмножеств" содержит предметные переменные.

[Dan B-Yallay]

Тогда я опять не совсем понимаю утверждение LOFAR, что

<< Аксиома полноты содержит предикатные переменные (для любых двух подмножеств...).>>

Я думал, что несчетность вещественных чисел связана именно с полнотой.

А сам вопрос о счетной модели вещественных чисел возник потому что неясно, какие преимущества у несчетной и почему мы ею пользуемся. Или что вынуждает нас это делать.

[Котофеич]

Феликс Шмидель писал(а):

Я бы не стал утверждать это так категорично. Есть теория вещественных чисел 2-го порядка, и есть теория вещественных чисел 1-го порядка. Для теории 1-го порядка есть неизоморфные модели, но никакого противоречия в этом нет. Несчётность множества вещественных чисел означает несуществование функции взаимно-однозначного соответствия между этим множеством и множеством натуральных чисел. Внутри счётной модели такой функции нет, так что эта модель продолжает оставаться "несчётной" по отношению к самой себе. Эта функция является множеством, не принадлежащим модели, поэтому по отношению к расширенной совокупности множеств, модель является счётной.

Вы забыли почеркнуть, что понятие категоричности теорий связано с мощностью их моделей. Существуют теории категоричные в одной мощности но не категоричные в любой
другой. Например теория К2 плотного упорядочения без первого и последнего элемента,
категорична в счетной можности, но не категорична в любой несчетной мощности.

[Феликс Шмидель]

Это интересное замечание. Но для автора темы, по-моему, важно только то, что существуют счётные и несчётные модели вещественных чисел.

[Dan B-Yallay]

Феликс Шмидель, Вы абсолютно правы.

Меня интересует вопрос, почему в анализе используется несчетная модель вещественных чисел со всеми вытекающими отсюда сложностями, вместо более простой (на мой взгляд) счетной.

Или это потому, что анализ не является теорией первого порядка?

[Котофеич]

Феликс Шмидель писал(а):

Это интересное замечание. Но для автора темы, по-моему, важно только то, что существуют счётные и несчётные модели вещественных чисел.

Автору темы нужно почитать справочник по матлогике. Распорядитесь чтобы выслали
дежурный экземпляр в стекляной посуде.

[Dan B-Yallay]

Автору нужна некоторая помощь в чтении справочника по матлогике.

А вам видимо этот справочник не помог. Не так давно вы просили пояснить смысл теоремы Геделя о неполноте. Поэтому приберегите дежурные книжки и едкости в стеклянной посуде для себя. Они вам нужнее.

[Феликс Шмидель]

Обычно в анализе не используется ни счётная, ни несчётная модели вещественных чисел. Просто формулируются аксиомы, и из этих аксиом выводятся следствия. Когда говорят, что множество вещественных чисел несчётно, имеют в виду не модели, а то, что эта теорема следует из аксиом.
Если же говорить о моделях, то эта теорема означает, что все модели вещественных чисел "несчётны" по отношению к самим
себе. Как только речь заходит о моделях, сразу появляются некоторые сложности, которых можно избежать, если не говорить о моделях.

[Dan B-Yallay]

Спасибо, кое-что проясняется.