Определение вероятности

[Zo]

Возник вопрос, что такое вероятность, каково ее строгое определение?

[cepesh]

В следующий раз когда у Вас возникнет вопрос, воспользуйтесь поиском. Например, http://ya.ru

[Zo]

cepesh писал(а):

В следующий раз когда у Вас возникнет вопрос, воспользуйтесь поиском. Например, http://ya.ru

аа наверно, нужно пояснить:
вот у меня под рукой лежит книжка по ТВ и МС, где написано, что "природа случайных событий такова, что на практике наблюдается эффект устойчивости частот. При увеличении числа опытов значение частоты ... стабилизируется около неслучайного числа P(A), соответсвующему данному конкретному событию A в опыте G. Число P(A) первоначально при становлении ТВ называлось вероятностью события А в опыте G" Далее идет отсылка к якобы более точному определению - а именно теореме Бурнулии, в которой говорится, что "частота успехов сходится почти наверное к вероятности успеха". Но сходимость почти наверное - это ведь сходимость, в определении которой опять используется понятие вероятности. А в аксиоматическом определении вероятностной меры ничего не говорится о связи этой самой меры с частотой.
Т.е. замкнутый круг. Вот и непонятно в итоге, что такое вероятность.

[shwedka]

Zo писал(а):

cepesh писал(а):

В следующий раз когда у Вас возникнет вопрос, воспользуйтесь поиском. Например, http://ya.ru

аа наверно, нужно пояснить:
вот у меня под рукой лежит книжка по ТВ и МС, где написано, что "природа случайных событий такова, что на практике наблюдается эффект устойчивости частот. При увеличении числа опытов значение частоты ... стабилизируется около неслучайного числа P(A), соответсвующему данному конкретному событию A в опыте G. Число P(A) первоначально при становлении ТВ называлось вероятностью события А в опыте G" Далее идет отсылка к якобы более точному определению - а именно теореме Бурнулии, в которой говорится, что "частота успехов сходится почти наверное к вероятности успеха". Но сходимость почти наверное - это ведь сходимость, в определении которой опять используется понятие вероятности.

Теорема Бернулли это теорема, а не определение. В данном случае она служит лишь подтверждением того, что точное определение вероятности, как пространства с мерой, согласуется с примитивным, интуитивным.

Цитата:

А в аксиоматическом определении вероятностной меры ничего не говорится о связи этой самой меры с частотой.
Т.е. замкнутый круг. Вот и непонятно в итоге, что такое вероятность.

Вот теорема Бернулли и связывает с частотой
Строго: пространство с мерой. Измеримое множество-событие. Мера- вероятность события

[Trueman]

shwedka писал(а):

Вот теорема Бернулли и связывает с частотой
Строго: пространство с мерой. Измеримое множество-событие. Мера- вероятность события

Наверное нужно нормированность ещё добавить.

[Zo]

shwedka писал(а):

Zo писал(а):

cepesh писал(а):

В следующий раз когда у Вас возникнет вопрос, воспользуйтесь поиском. Например, http://ya.ru

аа наверно, нужно пояснить:
вот у меня под рукой лежит книжка по ТВ и МС, где написано, что "природа случайных событий такова, что на практике наблюдается эффект устойчивости частот. При увеличении числа опытов значение частоты ... стабилизируется около неслучайного числа P(A), соответсвующему данному конкретному событию A в опыте G. Число P(A) первоначально при становлении ТВ называлось вероятностью события А в опыте G" Далее идет отсылка к якобы более точному определению - а именно теореме Бурнулии, в которой говорится, что "частота успехов сходится почти наверное к вероятности успеха". Но сходимость почти наверное - это ведь сходимость, в определении которой опять используется понятие вероятности.

Теорема Бернулли это теорема, а не определение. В данном случае она служит лишь подтверждением того, что точное определение вероятности, как пространства с мерой, согласуется с примитивным, интуитивным.

Цитата:

А в аксиоматическом определении вероятностной меры ничего не говорится о связи этой самой меры с частотой.
Т.е. замкнутый круг. Вот и непонятно в итоге, что такое вероятность.

Вот теорема Бернулли и связывает с частотой
Строго: пространство с мерой. Измеримое множество-событие. Мера- вероятность события

В аксиоматическом подходе ничего не говорится о связи вероятности с частотой - там просто каждому событию соответствует некоторое число (мера события). А частота и есть связующее звено абстрактной аксиоматики с окружающим нас миром.Вопрос - откуда аксиоматическая мера знает о том, какая мера (вероятность) приписывается случайному событию? Мы сами интуитвно приписываем вероятность событию, а потом доказываем, что это так и есть, разве не так?

[shwedka]

Цитата:

В аксиоматическом подходе ничего не говорится о связи вероятности с частотой - там просто каждому событию соответствует некоторое число (мера события).

Связь вероятности с частотой дается, среди прочего, теоремой Бернулли.

Цитата:

А частота и есть связующее звено абстрактной аксиоматики с окружающим нас миром.

это лежит вне предмета математики.

Цитата:

Вопрос - откуда аксиоматическая мера знает о том, какая мера (вероятность) приписывается случайному событию?

Да никакая мера не приписывается. Она есть исходный объект.
По -вашему есть 2 меры - но есть только одна.

Цитата:

Мы сами интуитвно приписываем вероятность событию,

Это не относится к математике.
Другой вопрос, как проводя эксперименты над системой узнать поподробнее об отвечающей ей мере. Это предмет матстатистики.

[Zo]

shwedka писал(а):

Цитата:

Мы сами интуитвно приписываем вероятность событию,

Это не относится к математике.

Если это не отсносится к математике, как тогда может возникнуть связь частоты с вероятностью?
Ведь в доказательстве теоремы Бернулли используются бернулиевские случайные величины обладающие определенными параметрами - вероятностью успеха в опыте.
А как быть с классической формулой вычисления вероятности, которая получается из того,что благоприятсвующим событиям приписывается вероятность появления в опыте?

[shwedka]

Zo писал(а):

shwedka писал(а):

Цитата:

Мы сами интуитвно приписываем вероятность событию,

Это не относится к математике.

Если это не отсносится к математике, как тогда может возникнуть связь частоты с вероятностью?
Ведь в доказательстве теоремы Бернулли используются бернулиевские случайные величины обладающие определенными параметрами - вероятностью успеха в опыте.
А как быть с классической формулой вычисления вероятности, которая получается из того,что благоприятсвующим событиям приписывается вероятность появления в опыте?

Слова 'вероятность успеха в опыте' это всего лишь традиционное выражение для вполне конкретного вероятностного пространства, которое разделено на 2 множества, мера одного p, мера другого 1-p. И в комбинаторном 'определении' вероятности, там с бросанием кубика и тп все легко записывается на языке аксиоматической теории. Слова кубик 'симметричный'
означают, что вероятностное пространство разделено на 6 множеств, мера каждого 1/6. И вся комбинаторика прекрасно переписывается.

[Zo]

shwedka писал(а):

Zo писал(а):

shwedka писал(а):

Цитата:

Мы сами интуитвно приписываем вероятность событию,

Это не относится к математике.

Если это не отсносится к математике, как тогда может возникнуть связь частоты с вероятностью?
Ведь в доказательстве теоремы Бернулли используются бернулиевские случайные величины обладающие определенными параметрами - вероятностью успеха в опыте.
А как быть с классической формулой вычисления вероятности, которая получается из того,что благоприятсвующим событиям приписывается вероятность появления в опыте?

Слова 'вероятность успеха в опыте' это всего лишь традиционное выражение для вполне конкретного вероятностного пространства, которое разделено на 2 множества, мера одного p, мера другого 1-p. И в комбинаторном 'определении' вероятности, там с бросанием кубика и тп все легко записывается на языке аксиоматической теории. Слова кубик 'симметричный'
означают, что вероятностное пространство разделено на 6 множеств, мера каждого 1/6. И вся комбинаторика прекрасно переписывается.

Хорошо, а откуда следует, что для кубика вероятностное пространство делится на 6 частей и мера каждого 1/6?

[Котофеич]

Zo писал(а):

Возник вопрос, что такое вероятность, каково ее строгое определение?

Почитайте А.Ю.Хренникова. В его книгах есть описание истории этого вопроса.
Вообще эта проблема выходит далеко за рамки классической математики, которая
дает только одну из моделей и весьма спорную, хотя и общепринятую в настоящее время.

[PSP]

Zo писал(а):

Возник вопрос, что такое вероятность, каково ее строгое определение?

1.Определение Колмогорова-Вероятность-это некоторая мера на множестве событий
2.Определение частотное-предел частот некоторого события,если выборку сделать стремящейся к бесконечности.
Есть и другие определения.
Вообше,как ни странно,ясности в этом вопросе нет до сих пор.У меня есть по этому делу неопубликованная работа,ещё со студенческих времён"К квантовой теории вероятностей".Думаю,она ещё не устарела..Куда бы её поместить,чтобы все прочитали?Страниц 40 машинописи..

[незваный гость]

Можно я отвечу вопросом на вопрос? Что такое 1 и 2?

Немного поясняя -- какая связь этих аксиоматически строимых объектов математической теории с тем, что мы наблюдаем вокруг себя? Какое они имееют отношение к количеству голов и рук у индивидума?

Математика -- это модель (семейство моделей) действительности. Модель "случайных" (в бытовом смысле) процессов -- теория вероятностей (конечные меры на пространстве событий). Теорема Бернули говорит о том, что эта модель неплохо подходит для описания набдюдаемого мира.

[shwedka]

Цитата:

Хорошо, а откуда следует, что для кубика вероятностное пространство делится на 6 частей и мера каждого 1/6?

Из определения. Симметричный кубик это такой, у которого вероятностное пространство такое.
А у реального кубика, если мы считаем его наивно симметричным, то вероятности хочется иметь равными, делим 1 на 6 равных частей, и поучается 1/6

[Котофеич]

PSP писал(а):

Zo писал(а):

Возник вопрос, что такое вероятность, каково ее строгое определение?

1.Определение Колмогорова-Вероятность-это некоторая мера на множестве событий
2.Определение частотное-предел частот некоторого события,если выборку сделать стремящейся к бесконечности.
Есть и другие определения.
Вообше,как ни странно,ясности в этом вопросе нет до сих пор.У меня есть по этому делу неопубликованная работа,ещё со студенческих времён"К квантовой теории вероятностей".Думаю,она ещё не устарела..Куда бы её поместить,чтобы все прочитали?Страниц 40 машинописи..

Частотный подход был предложен Мизесом. В физике этого вполне достаточно,
хотя большинство физиков не имеют об этом никакого представления и про Мизеса и слыхом
не слыхали.
То что математики называют теорией вероятностей к физике имеет мало отношения.
Колмогоровская теория вероятностей есть одна из частных аксиоматизаций мизесовского
подхода. Разумеется средние не обязаны сходится в смысле Коши. Они могут сходится
в любом другом смысле, ну например в р-адической метрике. Неколмогоровский вариант
развивали многие математики, например Хренников. Практического применения кроме физики струн, это дело пока не нашло.
Идея Колмогорова очень важна, поскольку она позволила применить классическую теорию меры и интеграла Лебега для получения строгих результатов, но устойчивость средних
там неявно предполагается. Однако ограниченность такого подхода резко проявилась
при попытке построения математических моделей реальных случайных процессов. В классическом подходе дополнительно неявно постулировалось, что понятие стохастического дифференциало ИТО всегда имеет физический смысл. К сожалению это далеко не всегда
справедливо на практике и такое предположение приводит к неадекватному математическому описанию турбулетности и квантовых случайных процессов. До некоторой
степени эту проблему решает теория обобщенных решений нелинейных СДУ в смысле
Colombeau, которая играет также важную роль в современной теории гравитации.