Коллекция доказательств несчетности отрезка.

[AD]

"Всем непонимающим теорему Кантора посвящается",
или
"конструктивистов просим не беспокоиться"


Ну есть такое предложение, пока эта тема вроде бы притихла, написать много всяких доказательств несчетности отрезка разными методами. Ну то есть как в Вашей науке проявляется теорема Кантора?

Ясно, что все доказательства будут как-то использовать принципы полноты действительных чисел (куда ж без них), и потому будут чем-то похожи.

Вот моя пока что коллекция - мааленькая такая - для затравки

1. Через теорему Бэра: Всякое счетное множество, очевидно, является множеством первой категории, а отрезок - второй.

2. Через теорию меры: Cчетные множества имеют меру нуль, а отрезок - меру единица.

3. Через некоторые теоремы единственности:
а) Если непрерывная функция $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ имеет производную, равную нулю всюду, кроме не более чем счетного множества точек, то $F$ - константа; тем не менее, существуют и непостоянные непрерывные функции.
б) Если ряд по системе Уолша (да и для тригонометрических, наверное, верно, но чего-то сходу ссылки не нашел ) сходится к нулю всюду, кроме не более чем счетного множества точек, то все его коэффициенты нулевые; тем не менее, существуют и ненулевые ряды Уолша.

Интересно было бы послушать что-нибудь из алгебры, скажем ...

[ewert]

какие-то всё отвратительныя док-ва... Любое разумное д-во будет ссылаться или на диагональную процедуру -- или на теорему Кантора, рекомендованную ув. тов. Снейп'ом.

[Yarkin]

Интересное выражение
AD в сообщении #186829 писал(а):

несчетности отрезка


есть определение или понятие?

[ewert]

нет ни определения, ни понятия. Счётность/несчётность относится исключительно к множествам, а вовсе не к каким-то там конкретным числам.

[AD]

Yarkin в сообщении #186901 писал(а):

есть определение или понятие?

Есть. Или Вы думали, что мы тут все типа Вас - рассуждаем о том, не знаю о чем? Понятие общеизвестное и обильно популяризованное. См. в Википедии, например, статью "счетное множество".

ewert в сообщении #186899 писал(а):

какие-то всё отвратительныя док-ва...

Я не спрашиваю, как надо доказывать этот факт. Просто любопытствую, из каких "левых" соображений он следует. В этом смысле чем отвратительнее - тем лучше

ewert в сообщении #186899 писал(а):

Любое разумное д-во будет ссылаться или на диагональную процедуру -- или на теорему Кантора, рекомендованную ув. тов. Снейп'ом.

Предупреждал ...

AD в сообщении #186829 писал(а):

Ясно, что все доказательства будут как-то использовать принципы полноты действительных чисел (куда ж без них), и потому будут чем-то похожи.

[Инт]

AD писал(а):

3. Если функция $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ имеет производную, равную нулю всюду, кроме не более чем счетного множества точек, то $F$ - константа; тем не менее, существуют и непостоянные функции.

Можете ли привести хотя бы набросок доказательство по этому поводу? Не совсем ясно, что имеется ввиду.

[gris]

AD писал(а):

написать много всяких доказательств несчетности отрезка разными методами.

Ув. AD!
Поскольку Вы говорите о несчётности именно отрезка, то при чём здесь числа?
Если рассмотреть отрезок как сугубо геометрическое понятие, имеющее определённую длину, то его (отрезок) нельзя уничтожить процедурой последовательного вытыкания отдельных точек, длины не имеющих. Отсюда с очевидностью следует его несчётность.

[PAV]

gris в сообщении #186945 писал(а):

Если рассмотреть отрезок как сугубо геометрическое понятие, имеющее определённую длину, то его (отрезок) нельзя уничтожить процедурой последовательного вытыкания отдельных точек, длины не имеющих. Отсюда с очевидностью следует его несчётность.

Вообще-то это доказательство проходит в исходном списке под номером 2. Только для этого нужно иметь доказанной сигма-аддитивность меры.

[AD]

Инт в сообщении #186938 писал(а):

Можете ли привести хотя бы набросок доказательство по этому поводу? Не совсем ясно, что имеется ввиду.

(Так, во-первых, исправил баг в формулировке. Непрерывность забыл )
Ну это довольно стандартное утверждение вида "все обобщенные первообразные отличаются на константу". Много таких утверждений содержится в книге С. Сакса "теория интеграла" (глава VII), однако там они сложноваты. То, что я сформулировал, вполне можно доказать на уровне матана первого курса. Могу расписать тут доказательство как-нибудь на досуге

[Yarkin]

ewert в сообщении #186908 писал(а):

нет ни определения, ни понятия. Счётность/несчётность относится исключительно к множествам, а вовсе не к каким-то там конкретным числам.

Согласен. Ноя имел в виду выражение.

AD в сообщении #186910 писал(а):

Есть.

Пока не вижу.

AD в сообщении #186910 писал(а):

Или Вы думали, что мы тут все типа Вас - рассуждаем о том, не знаю о чем?

К математике никакого отношения не имеет

[AD]

Yarkin в сообщении #187205 писал(а):

Пока не вижу.

А Вы посмотрели, где я указал?

Добавлено спустя 1 минуту 41 секунду:

Yarkin в сообщении #187205 писал(а):

К математике никакого отношения не имеет

Yarkin, пожалуйста, не забывайте вставлять подлежащее. А то не понятно.

Добавлено спустя 32 секунды:

Yarkin в сообщении #187205 писал(а):

Ноя имел в виду выражение.

Не знаю уж, что там имел в виду Ноя ... Встречный вопрос: А что такое "выражение" вообще??

[Yarkin]

AD в сообщении #187206 писал(а):

А Вы посмотрели, где я указал?

Да. Такого сочетания слов там нет.

[AD]

Yarkin в сообщении #187212 писал(а):

Да. Такого сочетания слов там нет.

Зато есть более общее, и требуемое сочетание - его частный случай.

[notabene]

Вопрос, а если подробно проанализировать все приведенные в первом посте доказательства, то они точно не ссылаются на теорему Кантора? То есть не возникает ли логический круг?

[ewert]

Какой такой круг? Теорема Кантора не ссылается на несчётность отрезка.