Один вопросик (Ранг матрицы)...

[Pom]

Решаю тут задачки по Линейной Алгебре, возник вопрос.

В примерах решениях задач по нахождению ранга, всегда упрощается матрица, что при решении занимает много времени. Я заметил, что в любых квадратных матрицах, а также в матрицах где количество столбцов больше количества строк, можно найти ранг путем нахождения наивысшего минора отличного от 0. При этом матрицу не нужно упрощать вовсе. А вот в матрицах где количество строк больше количества столбцов, такое применить не получается.

В примерах задач есть матрица 4х5 (СтрокиХСтолбцы), матрица упрощается и только потом находится ранг. Если её не упрощать, а найти минор 3его порядка (который отличен от 0) то видно, что ранг матрицы = 3.

А вот в примере где матрица 6х4 такой способ применить не получается (ответ не сходится)

Можно ли применять такой метод или просто мне такие задачи попадаются?

[Brukvalub]

Pom в сообщении #187216 писал(а):

Можно ли применять такой метод или просто мне такие задачи попадаются?

Ранг матрицы всегда равен максимальному порядку ненулевего минора, даже на седьмом этаже и ночью.

[ewert]

Pom в сообщении #187216 писал(а):

Я заметил, что в любых квадратных матрицах, а также в матрицах где количество столбцов больше количества строк, можно найти ранг путем нахождения наивысшего минора отличного от 0. При этом матрицу не нужно упрощать вовсе. А вот в матрицах где количество строк больше количества столбцов, такое применить не получается.

Вы совершенно напрасно это заметили. Ибо ранг матрицы не меняется при транспонировании. И потому широкая она или, наоборот, высокая -- не имеет решительно никакого значения.

И уж вдвойне (или там вдесятерне) напрасно заметили, что, дескать, "упрощение матрицы занимает много времени". Ибо "упрощение" (а на самом деле приведение к трапециевидной форме) -- это единственный практически пригодный способ подсчёта ранга. Всё остальное -- и, в частности. возня с минорами -- требует безумного к-ва операций и никакому нормальному человеку даже и в голову-то не придёт.

[Pom]

Brukvalub, ewert Я тоже так думал, но вот попадаются мне матрицы где

Цитата:

Ранг матрицы всегда равен максимальному порядку ненулевего минора.

неверно.

К примеру:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} } \right)\]

Вот минор 3его порядка, он равен нулю. Если матрицу упростить, то минор третьего порядка не будет равен нулю. В ответе ранг матрицы 3, следовательно: Ранг матрицы НЕ всегда равен максимальному порядку ненулевего минора.

Вот как Вы это обьясните?

Кстати матрица этого минора имеет больше строк чем столбцов и в том числе, все матрицы где Ранг матрицы НЕ всегда равен максимальному порядку ненулевего минора, также имеют больше строк чем столбцов. Именно по этому у меня возникли такие вопросы.

[ewert]

Pom в сообщении #187276 писал(а):

Вот минор 3его порядка, он равен нулю. Если матрицу упростить, то минор третьего порядка не будет равен нулю. В ответе ранг матрицы 3, следовательно

следовательно -- опечатка или в условии, или в ответе.

И что, наконец, означает слово "упростить"?

-------------------------------------------------------------------------------------------------
В общем, у Вас там какой-то логический сбой. Вы явно пытаетесь следить за неким конкретным минором третьего порядка. Который, разумеется, по ходу преобразований матрицы может стать ненулевым -- или, наоборот, обратиться в ноль. Но ведь это ещё ровным счётом ничего не значит. Требуется ведь, чтобы хоть какой-нибудь минор третьего порядка был ненулевым.

[Brukvalub]

Pom в сообщении #187276 писал(а):

Вот минор 3его порядка, он равен нулю. Если матрицу упростить, то минор третьего порядка не будет равен нулю. В ответе ранг матрицы 3, следовательно: Ранг матрицы НЕ всегда равен максимальному порядку ненулевего минора.

Вот как Вы это обьясните?

Я объясню это так: "ой, оставьте ваших глупостей" .
Вы не пишете, какие преобразования сделали нулевой минор ненулевым, а просто декларируете "нечто".
Поэтому нет возможности указать, какую именно ошибку Вы совершили, но одно несомненно - Вы ее совершили.

[Pom]

Brukvalub писал(а):

Pom в сообщении #187276 писал(а):

Вот минор 3его порядка, он равен нулю. Если матрицу упростить, то минор третьего порядка не будет равен нулю. В ответе ранг матрицы 3, следовательно: Ранг матрицы НЕ всегда равен максимальному порядку ненулевего минора.

Вот как Вы это обьясните?

Я объясню это так: "ой, оставьте ваших глупостей" .
Вы не пишете, какие преобразования сделали нулевой минор ненулевым, а просто декларируете "нечто".
Поэтому нет возможности указать, какую именно ошибку Вы совершили, но одно несомненно - Вы ее совершили.

Извиняюсь, но не думаю, что я ошибся.

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0 & { - 1} \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ \end{array} } \right)\]

Первую строку умноженную на -1 прибавим ко второй.
Третью строку прибавим к пятой.

Имеем 2 строки которые можно вычеркнуть

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array} } \right)\]

Получим минор 3его порядка отличный от 0, ранг не может быть больше 3х так как там 3 строки, минор 3 порядка отличен от 0 следовательно ранг 3. А вот если не уберать две пропорциональные строки то минор 3его порядка не будет равен трем. И вот во всех задачах которые я пытался решать, такой казус ТОЛЬКО в тех матрицах где строк больше чем столбцов.

[ewert]

Pom в сообщении #187286 писал(а):

А вот если не уберать две пропорциональные строки то минор 3его порядка не будет равен трем.

Какой конкретно минор третьего порядка Вас смущает? и, главное, зачем смущает? Нашёлся хотя бы один ненулевой минор третьего порядка -- и этого достаточно, чтобы ранг был равен трём (формально -- не меньше трёх).

Выдвину смелую гипотезу. Вероятно, Вы полагаете, что минор должен содержать обязательно подряд идущие строки и столбцы. Ну так нет: при образовании минора разрешается вычёркивать какие угодно линии -- лишь бы в правильном количестве.

[Pom]

ewert писал(а):

Pom в сообщении #187286 писал(а):

А вот если не уберать две пропорциональные строки то минор 3его порядка не будет равен трем.

Какой конкретно минор третьего порядка Вас смущает? и, главное, зачем смущает? Нашёлся хотя бы один ненулевой минор третьего порядка -- и этого достаточно, чтобы ранг был равен трём (формально -- не меньше трёх).

Выдвину смелую гипотезу. Вероятно, Вы полагаете, что минор должен содержать обязательно подряд идущие строки и столбцы. Ну так нет: при образовании минора разрешается вычёркивать какие угодно линии -- лишь бы в правильном количестве.

Я думал, что если один минор нулевой, то все остальные тоже нулевые... Вот где проблема была Теперь все нормально. Спасиба!