Объединение

[alex_rodin]

Возник вопрос: является ли правильной следующая запись

$$\left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = -2 \text{ -- не удовлетворяет условию $t \ge 0$} \end{array} \right.$$

получившаяся, к примеру, при решении биквадратного уравнения.

[t3rmin41]

Не так записывается. Если вы решали биквадратное уравнение $ x^4+px^2+q=0$ и взяли $t=x^2$, то полученные корни уравнения $t^2+pt+q=0$ должны быть больше нуля, если вам нужны ТОЛЬКО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ корни. Так что лучше записывать $t_1; t_2$ потому что в общем случае они не равны. А если вам нужны ВСЕ корни, то среди них могут быть комплексные корни, так как количество корней равно порядку полинома $a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$. В случае с $x^4+px^2+q=0$ корней будет 4, так как самая высокая степень при $x$ равна 4.

[ewert]

alex_rodin писал(а):

Возник вопрос: является ли правильной следующая запись

$$\left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = -2 \text{ -- не удовлетворяет условию $t \ge 0$} \end{array} \right.$$

получившаяся, к примеру, при решении биквадратного уравнения.

Фактически -- правильно. А формально -- зависит от вкусов Вашего начальства. У некоторых начальников своеобразные вкусы насчёт "формально правильного" оформления.

[Brukvalub]

t3rmin41 в сообщении #186287 писал(а):

Если вы решали биквадратное уравнение $ x^4+px^2+q=0$ и взяли $t=x^2$, то полученные корни уравнения $t^2+pt+q=0$ должны быть больше нуля, если вам нужны ТОЛЬКО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ корни.

Вранье.

t3rmin41 в сообщении #186287 писал(а):

А если вам нужны ВСЕ корни, то среди них могут быть комплексные корни, так как количество корней равно порядку полинома

У полиномов не бывает порядка, есть понятие степени полинома.

[t3rmin41]

Brukvalub писал(а):

t3rmin41 в сообщении #186287 писал(а):

Если вы решали биквадратное уравнение $ x^4+px^2+q=0$ и взяли $t=x^2$, то полученные корни уравнения $t^2+pt+q=0$ должны быть больше нуля, если вам нужны ТОЛЬКО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ корни.

Вранье.

Я имел в виду действительные корни уравнения $x^4+px^2+q=0$ даст только корни уравнения $t^2+pt+q=0$, где $t\geqslant0$.

[bot]

t3rmin41 писал(а):

Я имел в виду действительные корни уравнения $x^4+px^2+q=0$ даст только корни уравнения $t^2+pt+q=0$, где $t\geqslant0$.

Об чём речь? Если Вы решаете уравнение $x^4+px^2+q=0$ в множестве действительных чисел, то и в самом деле они вот они:
$x=\pm \sqrt t$, где $t$ - неотрицательный корень уравнения (если таковые найдутся) $t^2+pt+q=0$.

[ewert]

да все всё имели, и именно в виду. Brukvalub, как обычно, имел в виду избыточную строгость неравенств. А остальные -- квадратность скобок, коя оправданна.

[t3rmin41]

ewert писал(а):

да все всё имели, и именно в виду. Brukvalub, как обычно, имел в виду избыточную строгость неравенств.

Насколько я вижу, Brukvalub про неравенства ничего не говорил. Я думаю, он имел в виду то, что в уравнении $t^2+qt+p=0$ корни $t_1, t_2$ могут быть и меньше нуля, но оба $t_1,t_2$ - действительные. Я просто не дописал, что $t_1,t_2$ должны быть больше(равны) нуля, чтобы $x_1 \dots x_4 \in \mathbb{R}$. В противном случае ни о каком вранье не может идти речь.

[ewert]

нет, он явно имел в виду, что "больше или равны нулю", а не "больше нуля", но это всё семечки

[gris]

На самом деле эти квадратные скобки, формально может быть и обоснованные, заставляют школьников проделывать лишнюю работу и приучают именно к ненужной формальности.
Для решения системы их двух линейных уравнений школьник вынужден тащить одно из уравнений до самого конца, тупо переписывая его раз пять.
Ни на вступительных экзаменах, ни на ЕГЭ этого не требуется.

[t3rmin41]

ewert писал(а):

нет, он явно имел в виду, что "больше или равны нулю", а не "больше нуля", но это всё семечки

А ну да, пропустил "равно". Тогда всё понятно.

Цитата:

На самом деле эти квадратные скобки, формально может быть и обоснованные, заставляют школьников проделывать лишнюю работу и приучают именно к ненужной формальности.

Полностью согласен. Думаю, не нужно выпендриваться там, где не нужно выпендриваться (вот такой каламбур). Так записывая, только себя путаешь, а это ни к чему.

[ewert]

На вступительных экзаменах обычно этими формальностями не заморачиваются, и ежели проверяющему показалось, что решение разумно -- то и ладно. (Ну а ежели не показалось -- что ж, не повезло.)

Что и кому покажется на ЕГЭ -- предугадать невозможно, эта процедура абсолютно формальна и бессмысленна в своей формальности.

А по существу -- скобки очень нужны и полезны. Это -- просто очень наглядная и компактная запись логических операций "И" или "ИЛИ". И тащить их до бесконечности нет никакой необходимости, всегда формализованный текст можно легко разбавить обычными словами.

Но, конечно, для этого нужно приучить детей хоть сколько-то думать. Ну а для чего ж ещё математика-то и нужна? ведь не ради ж самой математики?

[Brukvalub]

Я имел в виду:
1. То, что в записи

t3rmin41 в сообщении #186287 писал(а):

полученные корни уравнения $t^2+pt+q=0$ должны быть больше нуля

неравенство - строгое, а должно быть нестрогим
2.То, что наличие одного неотрицательного и одного отрицательного корня уравнения

t3rmin41 в сообщении #186287 писал(а):

$t^2+pt+q=0$

не является признаком отсутствия действительных решений у соответствующего биквадратного уравнения, хотя было написано:

t3rmin41 в сообщении #186287 писал(а):

полученные корни уравнения $t^2+pt+q=0$ должны быть больше нуля, если вам нужны ТОЛЬКО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ корни.

Следовало бы написать, что только неотрицательные корни этого уравнения порождают действительные корни соответствующего биквадратного уравнения.