Помогите найти особые точки и их тип плз.

[Reebok]

$f(z)=\frac{1}{\sin(x)}$

Тут понятно что $\pi k$ изолированные особые точки, полюса, только какого порядка? и как этот порядок найти? в ряд Тэйлора не разложишь так просто..

Завтра экзамен, наверное уже просто зарешался..(

[gris]

Reebok писал(а):

$f(z)=\frac{1}{sin(x)}$

$x$ - это $Re(z)$, или у Вас описка и надо читать $f(z)=1/\sin z$?

[Reebok]

Дадада, там конечно везде одна переменная конечно же..

[gris]

Особые точки изолированные, правильно. Можно разложить в ряд Лорана.

[Reebok]

Тоесть делить столбиком единицу на многочлен? А как это сделать, ума не приложу...

[gris]

Хм... Разложите в 0 в ряд Лорана. Остальные полюса будут такими же. Порядок полюса - количество членов с отрицательными степенями. Если их бесконечно много, то это существенная особая точка.
Ну как Вы обычно находите коэффициента ряда Лорана?



Можно еще попробовать умножить на $z$ и сразу всё станет ясно Я понял, что Вам не надо само разложение находить?

[Brukvalub]

\[ \sin (z + \pi n) = ( - 1)^n \sin z \]

, поэтому все полюса одного порядка - первого.

[LynxGAV]

Зачем ряд Лорана, если

$$f(z)=\frac{\psi (z)}{\eta (z)}$$

, где функция в числите будет не равна нулю для $z_k=\pi k$, $k=0,\pm 1, \ldots$ и проверить пределы по определению полюсов.

Добавлено спустя 1 минуту 2 секунды:

Brukvalub писал(а):

\[ \sin (z + \pi n) = ( - 1)^n \sin z \]

, поэтому все полюса одного порядка - первого.

В самом деле еще элементарнее.

[gris]

Так я же и говорю, достаточно в окрестности 0 умножить на $z$.

[Reebok]

Да в принципе понятно, все первого, если брать производную от Sin(x) то уже на первом шаге получим что PI*k не ноль этой функции, значит полюс первого, ясно.

А вот насчёр разложения в РЛ, там ведь придётся делить единицу на многочлен(наше разложение синуса), как будет выглядеть результат мне просто очень интересно?

[gris]

Самое тупое:

$1=(z+a_3z^3 + \cdots) \cdot (1/z+ b_1z+b_3z^3+ \cdots)$
Косеканс- нечётная функция. Раскрываем скобки... Ну и т.д.

$0=(a_3+b_1)z^2 + (a_5+a_3b_1+b_3 )z^4 + \cdots$

$a_3+b_1=0$
$a_5+a_3b_1+b_3=0$
$a_7+a_5b_1+a_3b_3+b_5=0$
Какие там у синуса коэффициенты?

[LynxGAV]

Reebok писал(а):

Да в принципе понятно, все первого, если брать производную от Sin(x) то уже на первом шаге получим что PI*k не ноль этой функции, значит полюс первого, ясно.

А вот насчёр разложения в РЛ, там ведь придётся делить единицу на многочлен(наше разложение синуса), как будет выглядеть результат мне просто очень интересно?

На первом шаге, но по-хорошему еще надо проверять, что предел от

$$\lim \limits_{z\to z_k}(z-z_k)^{n+1}f(z)=0$$

для полюса порядка $n$. Разложите в знаменателе синус вокруг особой точки и вынесите за скобки $(z-z_k)$.

[Reebok]

1 3! 5! 7! итд

В РЛ для всей функции должен получиться только один член и только в степени -1, а остальные без отницательных степеней, я прав? Так выходит?

[LynxGAV]

Reebok писал(а):

1 3! 5! 7! итд

В РЛ для всей функции должен получиться только один член и только в степени -1, а остальные без отницательных степеней, я прав? Так выходит?

Только один член с отрицательной степенью -1 плюс члены с неотрицательными степенями.

[gris]

То есть

$$\frac 1 {sinz} = \frac 1 z +\frac {z}{6} +\frac {7z^3}{360}+\frac {31z^5}{15120} + \cdots$$

Для $0<|z|<\pi$

В явном виде коэффициентты выражаются через числа Бернулли.