Алгоритм a trous (вейвлет-преобразования)

[Cat]

Здравствуйте, разбираюсь с дискретным вейвлет-преобразованием. Встретился такой момент: Определим исходный временной ряд $\{c_{0,t}\}$ следующим образом:
$c_{0,t}=<f(x),\phi(x-t)>$. Функция $\phi(x)$ известна, непонятно как по временному ряду фукнцию $f(x)$ найти. Может кто-нибудь подскажет? Заранее благодарю

[Gafield]

Смотря какие функции. А формально, положим $\psi(x)=\phi(-x)$. Тогда $c_{0,t}$ будет сверткой $f$ и $\psi$. При преобразовании Фурье свертка переходит в произведение. Поэтому $f=F^{-1}[F[c_{0,t}]/F[\psi]]$.

[Cat]

Функция $\phi(x)$ должна удовлетворять уравнению расширения $\frac{1}{2}\phi(\frac{1}{2})=\sum h(k)\phi(x-k)$, где $h$ - низкочастотный фильтр, например $h=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

Добавлено спустя 13 минут 45 секунд:

Gafield, в Вашем примере получается, что $c_{0,t}=<f(x),\psi(t-x)>$, а свёртка же определяется как $\int f(x)\psi(x-t)$, то есть по сути нет нужды вводит эту функцию $\psi$. За напоминание про Фурье-образ свёртки функции спасибо.

[Gafield]

Cat писал(а):

Gafield, в Вашем примере получается, что $c_{0,t}=<f(x),\psi(t-x)>$

Именно так свертка и определяется.

[Cat]

Да, действительно так и есть, сорри

Добавлено спустя 9 минут 43 секунды:

А $F[c_{0,t}]$ - это дискретное преобразование Фурье?

Добавлено спустя 43 минуты 19 секунд:

И еще такой вопрос, какие значения может $k$ принимать не совсем понятно. Например, я хочу выразить функцию $\phi$ при $h=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, если $k$ взять $(0,1)$, то получится - $\phi(x)=\phi(2x+1)+\phi(x)$, а если $k$ взять $(-1,0)$, то будет $\phi(x)=\phi(2x-1)+\phi(x)$.
Может быть я что не так понимаю? Как всё-таки индексы эти брать?

[Cat]

Судя по тому, что масштабная функция для фильтра Хаара выглядит как $\phi(x)=\phi(2x-1)+\phi(x)$, то берутся всё же $k=\{0,1\}$. То есть тогда получается, что если в фильтре нечетное число элементов $N$, то границы индекса определяются как $[-\frac{N-1}{2},\frac{N-1}{2}]$, а если четное число элементов, то как $[-\frac{N}{2},\frac{N-2}{2}]$? А в общем случает $k={-\infty,\infty}$? Может кто-нибудь подсказать?