Длина дуги на эллипсоиде

[Yu_K]

Красиво у Вас получилось.

Картинки пропадают периодически (поэтому ответ дописываю в текстовом формате) - приближенный результат 1.51043435 для предложенных интегралов (Маткад), т.е. практически совпадает с численным решением, полученным при определении длины кривой в краевой задаче.

[vvvv]

Утундрий, а как Вы свели задачу к эллиптическому интегралу?
Если Вы дугу геодезической между двумя точками заменили дугой эллипса,
то так делать нельзя, дуга геодезической не плосквя кривая.

[Утундрий]

Да стандартно свел... в общем и рассказывать не о чем...

Параметризовал поверхность:

\[ \begin{gathered} x = \sqrt 2 \cos \theta \hfill \\ y = 2\sqrt 2 \sin \theta \cos \varphi \hfill \\ z = 2\sqrt 2 \sin \theta \sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \]

После чего нашел, что точкам $(0,2,2)$ и $(1,1,\[\sqrt 3 \])$ в координатах $\theta - \varphi $ соответствуют $\[\left( {\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}} \right)\]$ и $\[\left( {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}} \right)$
Вычислил метрику:
$\[ds^2 = 2(1 + 3\cos ^2 \theta )d\theta ^2 + 8\sin ^2 \theta d\varphi ^2 \]$
Коэффициенты связности:
$\[\Gamma _{\theta \theta }^\theta = - \frac{{3\sin \theta \cos \theta }}{{1 + 3\cos ^2 \theta }}\]$
$\[\Gamma _{\theta \varphi }^\varphi = ctg\theta \]$
$\[\Gamma _{\varphi \varphi }^\theta = - \frac{{4\sin \theta \cos \theta }}{{1 + 3\cos ^2 \theta }}\]$
Записал $\varphi$-компоненту уравнения геодезической и условие натуральности параметра кривой:
$\[\ddot \varphi + 2ctg\theta \cdot \dot \theta \dot \varphi = 0\]$
$\[2(1 + 3\cos ^2 \theta ) \cdot \dot \theta ^2 + 8\sin ^2 \theta \cdot \dot \varphi ^2 = 1\]$
($\theta$-компоненту не писал, так она является следствием этих двух уравнений и ничего нового не дает)
Первое уравнение дало мне $\[\dot \varphi = \frac{K}{{2\sqrt 2 \sin ^2 \theta }}\]$.
Откуда немедленно получается
$\[d\varphi = - \frac{K}{{2(1 - \cos ^2 \theta )}}\sqrt {\frac{{1 + 3\cos ^2 \theta }}{{1 - K^2 - \cos ^2 \theta }}} d(\cos \theta )\]$
а так как при этом
$\[ds = - \sqrt 2 \cdot \sqrt {\frac{{1 + 3\cos ^2 \theta }}{{1 - K^2 - \cos ^2 \theta }}} d(\cos \theta )\]$
то после переобозначения $\[t \equiv \cos \theta \]$ и получаются приведенные выше результаты.

[vvvv]

Спасибо.Сделано Квалифицировано!

[Утундрий]

Кушайте на здоровье... Хотя задачку я не добил ( По-хорошему надо бы теперь к нормальной Лежандровой форме привести, заодно и с замкнутостью вопрос решился бы, но просто уже "не греет"... Покрутите сами, до полного финиша кажется совсем чуть-чуть осталось.

[vvvv]

Ну, и напрасно.Ваш пример ни в одном учебнике (русскоязычном) по диф.геометрии не найдешь.
Так что общественность требует закончить задачу.

[Yu_K]

На сфере замкнутых ГЛ проходящих через выбранную фиксированную точку бесконечно много (континуум) - а вот с эллипсоидом - можно ли как-то определить значения параметров, при которых ГЛ будет замкнута? И как у эллипсоида с кол-вом замкнутых ГЛ - их будет счетное множество?

[vvvv]

С.П.Фиников в своей Дифференциальной геометрии говорит:-если угол дельта соизмерим с пи, то геодезическая замыкается (дельта оределяется формулой 9.3:6 стр.149)- это для поверхностей вращения.В вышеприведенной задаче имеем эллипсоид вращения.

[Утундрий]

vvvv писал(а):

Ну, и напрасно.Ваш пример ни в одном учебнике (русскоязычном) по диф.геометрии не найдешь.

Может это потому, что никому этот пример не нужен? ) Ну посудите сами, какой смысл во всех этих "изящных" решениях: сфера, эллипсоид, тор... малейшее шевеление или выбоина какая и вся эта рафинированая красота разрушается и перепутывается.

[vvvv]

Разрешите возразить- то, что никому не нужен - это неправда.
Во-первых, диф.геометрию знают (и то не все) - математики.Ведь ее читают на мехматах университетов.
Большинство людей, окончивших высшую школу и прослушавших стандартный, кур матанализа понятия о ней не имеют.
Во-вторых,большинство учебников ( на русском языке) по диф. геометрии было написано в прошлом веке, когда еще не было компьютеров.И что проку говорить о геодезических,
когда изобразить их нельзя было.Вот так, как это сделано выше.
Сегодня такая возможность есть и люди, могущие рассказать о диф.геометрии, должны сказать свое слово.
Не решать же, все время,студентам задачи по алитической геометрии!?

[KirGus]

Yu_K , подскажите, пожалуйста, как и с помощью какого математического пакета нарисовать такую красоту (эллипсоид с геодезическими линиями)?

[Yu_K]

Yu_K в сообщении #184531 писал(а):

Громозкая задача и сложновато ее решать аналитически - можно взять сферу и на ней соединить две точки начальную и конечную (с соответствующими сферическими координатами) дугой большого круга - а затем сделать сжатие до нужного эллипсоида - деформированная дуга большого круга по идее и даст кратчайшую линию. Так это или нет? В принципе можно проверить.

Выше на картинке задача решена в Маткаде - взята начальная и конечная точки на эллипсоиде и по честному выписаны уравнения геодезической линии (ГЛ) и решается краевая задача для системы ОДУ второго порядка - так чтобы ГЛ выпущенная из начальной точки пришла в конечную - варьируется угол выхода ГЛ из начальной точки. На правом рисунке ГЛ заканчивается в конечной точке, на левом она продолжена дальше - эллипсоид сделан прозрачным для наглядности. В принципе стандартная вариационная задача

[KirGus]

А можно глянуть на Mathcad-код к этому примеру?

[Yu_K]

В рамках этого форума, наверное, это не получится. Маткад тем хорош (IMНO)- Вы пользуетесь естественной математической нотацией формул - не заморачиваясь особо на какой либо язык программирования. Поэтому просто берете из справочника формулы и пользуетесь ими. Вот, например, уравнения геодезических для неявной пов-ти, приведенной в первой строке картинки, в декартовых координатах, полученные в Маткаде. Можно параметризовать пов-ть и получить другую форму уравнений этих же кривых. Для решения уравнений пользуетесь встроенными в пакет методами интегрирования краевых задач и для отображения результатов - графическими функциями пакета. Правда есть проблема - современные версии, распространяемые РТС значительно отстают от версий выпущенных Mathsoft-ом.

[Shtirlic]

А что если задачу свести к одной переменной. Будем двигаться из точки (0,2,2) в точку (1,1,3^0,5). В нужной нам области z=(8-4x^2-y^2)^0,5. В плоскости xoy наше направление (1,-1). Тогда x=r/(2^0,5), y=2-r/(2^0,5),
z(r)=(8-2,5r^2+2*2^0,5*r)^0,5. А дольше просто найти длину дуги при 0<r<2^0,5. У меня 1,4142 получилось!

-- Вс сен 27, 2009 04:22:24 --

Хотя за ответ особо не уверен. Нужно на MathCat нормально посчитать!