Изысканный Изоморфизм (кольца Z и Z^2)

[Кайгородов Евгений]

Подскажите, можно ли задать изоморфизм Z\to $Z\times $Z?
Как он записывается в явном виде?

[neo66]

Что такое $Z$? Кольцо целых чисел?

[ИСН]

$\cal N\leftrightarrow\cal N\times\cal N$ просто, c $\cal Z$ несколько хуже.

[Кайгородов Евгений]

Да, $Z - кольцо целых чисел. В том то и дело, что с натуральными числами проще. Но как быть с целыми???

[neo66]

А никак:). Они не изоморфны.

[Xaositect]

Кайгородов Евгений писал(а):

Да, $Z - кольцо целых чисел. В том то и дело, что с натуральными числами проще. Но как быть с целыми???

Изоморфизма колец

$$\mathbb{Z}$$

и

$$\mathbb{Z}^2$$

не существует, потому что в первом нет делителей нуля, а во втором есть.

[Кайгородов Евгений]

Спасибо огромное. Все ясно теперь.

[gris]

$$\left(\begin{array}{ccccccc}\ \cdots\\ \cdots & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & \cdots \\ \cdots & 7 & -2 & -3 & -4& -5& \cdots \\ \cdots &6 & -1 & 0&1& -6& \cdots \\ \cdots &5 & 4 & 3&2& -7& \cdots \\ \cdots&-12& -11 & -10&-9 &-8& \cdots \\ \cdots\end{array}\right)$$

Можно и аналитически написать, если постараться
Правда это всего лишь изоморфизм множеств...

[Кайгородов Евгений]

Уважаемый gris! Спасибо. Там про кольца ничего не сказано, поэтому отбрехаюсь поди.

[AlexDem]

ИСН писал(а):

$\cal N\leftrightarrow\cal N\times\cal N$ просто, c $\cal Z$ несколько хуже.

А как выглядит изоморфизм $\cal N\leftrightarrow\cal N\times\cal N$?

[worm2]

По-моему, термин "изоморфизм" используется только для каким-то образом структурированных множеств (колец, полей, топологий и т.п.)... Для "просто множеств" пользуются термином "равномощность".

[AlexDem]

Так да, я и думал, что имеется в виду какая-то алгебраическая структура над $N$... А для множеств любая биекция подойдёт.

[gris]

С помощью биекции можно насильственно ввести алгебраическую или иную структуру во второе множество, если первое её имеет. Правда она будет отличаться от общепринятой и не иметь особого смысла.

[AlexDem]

В принципе, с помощью биекции можно "транслировать" все операции и отношения над одним множеством в другое - так будет понятней. А уж во что они там превратятся - может быть не выразимо общепринятыми операциями. Тогда да - была бы биекция, алгебра найдётся

[gris]

У меня вопрос - Какая алгебраическая структура у $\mathbb N$ по отношению к обычным операциям сложения и умножения? Полугруппа по каждой? А дистрибутивность умножения добавляет же что-то? Но ведь это не полукольцо?