Многочлены vs Векторы vs Числа

[AlexDem]

Возник вопрос - какая разница между всеми этими объектами? Рассмотрим аксиомы линейного пространства. Этим аксиомам удовлетворяют как собственно векторы, так и числа, и многочлены. Рассмотрим теперь аксиомы кольца. Как видно, там вводится операция умножения объектов, которой не было в линейных пространствах (было лишь умножение на скаляр). Для чисел и многочленов она определена, и ничто не мешает нам её доопределить и для произвольных векторов по аналогии с многочленами, тогда это будет $c = a \otimes b$ (тогда придётся доопределить и операцию "+", чтобы уметь складывать векторы разной размерности). С таким доопределением все объекты - многочлены, векторы и числа опять будут эквивалентными, то есть будут образовывать кольца.

Хотя, между векторами и многочленами будет существенная разница, связанная с тем, что коэффициенты многочлена берутся из коммутативного кольца: для многочлена умножение $(a + bx)(c + dx) = ac + adx + bxc + bxdx$ может быть упрощено к виду $ac + (ad + bc)x + bdx^2$, а для вектора - нет. То есть векторы, наверное, можно рассматривать как многочлены над некоммутативным кольцом.

Кольцо является телом тогда и только тогда, когда оно содержит не менее двух элементов и оба уравнения $ax = b$ и $xa = b$, разрешимы для любых элементов $a, b \in A$, где $a \ne 0$. Очевидно, что кольцо векторов не является телом. Хотя разницы между числами и многочленами я всё ещё не уловил. Посему вопросы:

1) Какие аксиомы вводят разницу между числами и многочленами? Тело кватернионов, например, даже не является полем, но кватернионы мы называем числами.

2) Возможно ли ввести понятие алгебраического расширения кольца многочленов, векторов? А так же - возможно ли алгебраически расширить кольцо, над которым задаются векторы, так же, как это делается для многочленов?

3) Есть ли какие-либо теоремы классификации линейных пространств, наподобие теоремы Фробениуса, чтобы упорядочить весь этот зоопарк (типа векторов над кольцом матриц и т.п. - может там имеются какие-нибудь изоморфизмы?)

Ну, и просьба сильно не пинать, если это всё хорошо известно. Может ли здесь помочь какая-либо книга, наподобие "Теория Галуа" Постникова? Тогда порекомендуйте...

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

Да, кстати, встретилось такое утверждение:

Цитата:

If D is a connected, locally compact division ring, then either D = R, or D = C, or D = H.

Где можно почитать об этом подробнее - то есть о несвязных, не локально-компактных кольцах с делением?

[neo66]

AlexDem в сообщении #185122 писал(а):

Этим аксиомам удовлетворяют как собственно векторы, так и числа, и многочлены.

У Вас в голове в настоящий момент, в некотором роде, каша из терминов и понятий.
Что такое собственно векторы? Это любые объекты, удовлетворяющие аксиомам линейного или векторного пространства.

Что такое числа? Это вообще жаргон, требующий уточнения: вещественные, комплексные, элементы произвольного поля и т.д.

Цитата:

1) Какие аксиомы вводят разницу между числами и многочленами?

Не видел никогда таких аксиом.

Цитата:

3) Есть ли какие-либо теоремы классификации линейных пространств, наподобие теоремы Фробениуса, чтобы упорядочить весь этот зоопарк (типа векторов над кольцом матриц и т.п. - может там имеются какие-нибудь изоморфизмы?)

Что это за загадочные вектора над кольцом матриц? Вектора, по мооему, могут быть только над полем.

Посмотрите, например, Курс Алгебры, Э.Б.Винберга, или любой другой хороший учебник алгебры. Тогда многие вопросы исчезнут.

[AlexDem]

neo66 в сообщении #185129 писал(а):

Вектора, по мооему, могут быть только над полем.

А какая аксиома векторных пространств требует поля?

Добавлено спустя 38 секунд:

neo66 в сообщении #185129 писал(а):

У Вас в голове в настоящий момент, в некотором роде, каша из терминов и понятий.

А, да - это точно

[neo66]

AlexDem в сообщении #185130 писал(а):

А какая аксиома векторных пространств требует поля?

Вы же сами дали ссылку на Википедию. Вот и посмотрите внимательно.

[AlexDem]

Смотрел, но может проглядел? Вы нашли?

Я вот тут поискал, нашёл один форум: Аналог векторного пространства над Z

Цитата:

Вы невольно развенчали моё наивное представление о том, что уж хотя бы в алгебре вся терминология устоялась.
В справочнике двух Корнов линейные векторные пространства определяются прямо над кольцами, у Куроша в одной книжке - над произвольным множеством (как бы не телом), в другой (самое близкое) - как унитарный модуль над ассоциативным телом, у Ван дер Варденя (о чудо!) - тоже над телом, только произвольным и не через понятие модуля (оно появляется через 200 страниц). Конечно, можно все эти определения упорядочить, но я лучше не буду заиорачиваться, и аналог конечномерного векторного пространства над полем R я назову конечномерным векторным пространством над кольцом Z. Правильно ведь?

[neo66]

Грубо говоря, векторное пространство над ассоциативным кольцом с единицей называется модулем.

[AlexDem]

А что меняет название?