Основы теории множеств (биекция между геометрич. объектами)

[PHT]

Не могу уловить логику решения подобных задач:

Построить взаимно однозначное соответствие между множеством окружностей на плоскости и множеством квадратов, стороны которых параллельны осям координат.

Подскажите, если не трудно.

[bubu gaga]

Впишите в каждый квадрат круг?

[PHT]

bubu gaga в сообщении #184715 писал(а):

Впишите в каждый квадрат круг?

В любой квадрат, в том числе и такой, стороны которого не параллельны осям координат.

[ewert]

Тогда установите вспомогательную биекцию между отрезком $[0;\pi/2)$ и соотв. прямоугольником.

[bubu gaga]

Всё что нужно, это один в один отображение. Берём произвольный квадрат со сторонами параллельными осям. Сколько кругов можно в него вписать?. Берём круг, Сколько квадратов со сторонами параллельными осям, можно описать вокруг круга?

По-моему так.

[gris]

Надо обязательно установить, что в разные квадраты вписываются разные круги и наоборот, вокруг разных кругов описываются разные квадраты.

[PHT]

Тут понятно.

А как решить следующую задачу?
Доказать взаимно однозначное соответствие между множеством точек круга и множеством точек, лежащих внутри квадрата.

Рассуждения.
Обозначим через $A$ - множество точек квадрата, через $B$ - множество точек круга.
Из $A$ можно выделить подмножество $C$, эквивалентное множеству $B$, всилу идентичности отображения (круг полность вписывается в квадрат).
Теперь если показать эквивалентность некоторого подмножества $D$ множества $B$ множеству $A$, тогда можно воспользоваться теоремой Кантора-Бернштейна.
Пока мысль работает только в направлении этой теоремы. Но как образовать $D$?

[Nxx]

Квадрат задается тремя параметрами: координатами центра и длиной стороны. (x,y,d)

Круг тоже задается тремя паhаметрами: координатами центра и радиусом:

(x',y',r).

Соответственно, мы можем каждому квадрату (x,y,d) поставить в соответствие круг

x'=x
y'=y
r=d

Все.

Добавлено спустя 2 минуты 31 секунду:

Цитата:

Доказать взаимно однозначное соответствие между множеством точек круга и множеством точек, лежащих внутри квадрата.

Элементарно. Точки внутри круга можно задавать полярными координатами, точки внутри квадрата - декартовыми. И там и там два параметра.

[ewert]

Ну если уж Кантора-Бернштейна, то совсем тривиально. Круг (если его ужать) инъективен квадрату, квадрат же (если его ужать) -- инъективен кругу...

----------------------------------------------------
это если одна фигура открыта, другая замкнута. Если же обе открыты или обе замкнуты, то совсем по-деццки -- просто по лучам.

[PHT]

ewert в сообщении #184816 писал(а):

Ну если уж Кантора-Бернштейна, то совсем тривиально. Круг (если его ужать) инъективен квадрату, квадрат же (если его ужать) -- инъективен кругу...

Как это записать в виде доказаетельства?
Термин инъективное отображение, на сколько я понимаю, практически синоним термину взаимно однозначное отображение.

[ewert]

да молча. Если существует инъекция из квадрата в круг (а она очевидна, если сделать для квадрата масштабное преобразование и погрузить полученный уменьшенный квадрат в круг), и если существует инъекция круга в квадрат (аналогично) -- то по теореме Кантора-Бернштейна эти два множества равномощны.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Инъекция -- это биекция между входным множеством и частью (вообще говоря) выходного.

[PHT]

Токое доказаетльстов будет корректным?
Обозначим через $A$ - множество точек квадрата, через $B$ - множество точек круга.
Из $A$ можно выделить подмножество $C$, эквивалентное множеству $B$, всилу идентичности отображения (круг полность вписывается в квадрат).
Аналогично, подмножество $D$ эквивалентно множеству $A$ в силу того же свойства идентичности (квадрат полность вписывается в круг).
Тогда можно воспользоваться теоремой Кантора-Бернштейна: т.к. подмножество множества $A$ (множество $C$) эквивалентно множеству $B$, а подмножество множества $B$ (множество $D$) эквивалентно множеству $A$, то множества $A$ и $B$ эквивалентны.

[ewert]

нет, не будет. Вы обязаны при необходимости уменьшить размеры квадрата/круга. Т.е. установить биекцию (тривиальную, конечно, но это необходимо сделать) между, допустим, квадратом и его уменьшенной копией.