Интересная тернарная операция

[STilda]

Операция, которая не является последовательным выполнением двух бинарных операций.

1. Если пишем $f(x,y,z)=x*y*z$, то это означает возможность сначала выполнить $x*y$ а потом $(x*y)*z$. То есть, имеем две бинарных операции одна за другой. Тем не менее, $f$ называется тернарной.

2. Но вот другая конструкция. Пусть имеем три вектора одинаковой размерности $a,b,c$. Введем операцию "тернарного скалярного произведения" $T(a,b,c)=a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+...+a_nb_nc_n$. Как видим, её невозможно выполнить в два этапа, как в первом случае.

Как вам, есть ли существенная разница и дает ли это что-нибудь?

[AD]

STilda в сообщении #184675 писал(а):

Как видим, её невозможно выполнить в два этапа, как в первом случае.

Я лично не вижу. Доказать сможете?

[вздымщик Цыпа]

Ничего особенного.
$T(a,b,c) = G(F(a,b), c)$
где
$F(a,b) = (a_1b_1, \ldots, a_nb_n)$
$G(d, c) = d_1c_1+\ldots+d_nc_n$

Вообще, любую функцию $X:M_1\times M_2\times M_3 \to N$ можно представить в виде суперпозиции:
$Y:M_1\times M_2 \to M'$ и $Z:M'\times M_3 \to N$, даже если и не в явном виде, то в виде $M'$ — множество функций из $M_3$ в $N$.

[STilda]

С вздымщик Цыпа не спорю. Только замечаю разницу. $F$ и $G$ получились совсем разные по своей природе. Операция $F$ фактически выводит нас в пространство функций. В то время, как в случае бинарного умножения все впередлах пространства и два раза применяем одинаковую функцию.
Можно попробовать ограничить условия так. Если $a,b,c$ из одного пространства $M$ тогда не существует двух бинарных операций $B_1,B_2:M\times M\to N$, которыми можно было бы заменить операцию $T:M\times M\times M \to N$. Только это очевидно. . Согласно примеру вздымщик Цыпа нам потребуется $F:M\times M\to M$ и $G:M\times M\to N$

Тогда вопрос, любую ли $T':M\times M\times M \to M$ можно представить в виде композиции двух $B'_1,B'_2:M\times M\to M$?

[вздымщик Цыпа]

STilda в сообщении #184799 писал(а):

Если $a,b,c$ из одного пространства $M$ тогда не существует двух бинарных операций $B_1,B_2:M\times M\to N$, которыми можно было бы заменить операцию $T:M\times M\times M \to N$. Только это очевидно.

Это очевидно хотя бы потому, что вторую функцию не к чему применить.

STilda в сообщении #184799 писал(а):

Тогда вопрос, любую ли $T':M\times M\times M \to M$ можно представить в виде композиции двух $B'_1,B'_2:M\times M\to M$?

Если $|M| = |M\times M|$ (что вроде бы верно для всех бесконечных множеств), $\varphi: M \times M\to M$ — взаимно однозначная функция и $(\psi_1, \psi_2)$ — обратная к ней пара функций: $\varphi(\psi_1(x), \psi_2(x)) = x$. То определим $f(x,y) = T(\psi_1(x), \psi_2(x), y)$. Тогда $T(x,y,z) = f(\varphi(x,y),z)$.

[STilda]

Хорошо. Продолжаю философствовать.

Рассмотрим пространство обычных трехмерных векторов с действительными коэффициентами. Возьмем геометрическую сторону.
1. Скалярное произведение двух единичных векторов задает угол между ними. Когда скалярное произведение равно нулю, это соответствует перпендикулярным векторам и мы представляем как выглядят два перпендикулярных отрезка.
2. Теперь возьмем три единичных вектора. Как интерпретировать тернарное скалярное произведение $T$? Как выглядят тройки отрезков, которые дают нулевое тернарное произведение?

[AD]

вздымщик Цыпа писал(а):

Если $|M| = |M\times M|$ (что вроде бы верно для всех бесконечных множеств), $\varphi: M \times M\to M$ — взаимно однозначная функция и $(\psi_1, \psi_2)$ — обратная к ней пара функций: $\varphi(\psi_1(x), \psi_2(x)) = x$. То определим $f(x,y) = T(\psi_1(x), \psi_2(x), y)$. Тогда $T(x,y,z) = f(\varphi(x,y),z)$.

А давайте теперь такую задачку решим. Существует ли $B:M\times M\to M$, что $T(x,y,z)\equiv B(x,B(y,z))$?

[вздымщик Цыпа]

AD в сообщении #185021 писал(а):

А давайте теперь такую задачку решим. Существует ли $B:M\times M\to M$, что $T(x,y,z)\equiv B(x,B(y,z))$?

Эт врядли. Можно рассмотреть $T(x,y,z)$, не зависящую от одного из аргументов, но при этом с «достаточно богатым» множеством значений.

[Naturlich]

STilda в сообщении #184917 писал(а):

2. Теперь возьмем три единичных вектора. Как интерпретировать тернарное скалярное произведение ?

Никак. Ваше тернарное произведение не инвариантно по отношению к вращениям.

[STilda]

Да, Хорошее наблюдение.

А вот нашел в непрерывном случае получаем, что $\int\limits_{0}^{2\pi} {sin(x+a)sin(x+b)sin(x+c)} dx=0$

[geomath]

Вот задачка совершенно в тему.

Имеются углы $A$, $B$ и $C$, например углы треугольника, попарные суммы которых известны:

$A*B = L$, $B*C = M$ и $C*A = N$.

Требуется определить сумму $A*B*C$ как функцию $L$, $M$ и $N$, если суммируются углы "релятивистски":

$tg(X*Y) = \frac{tg X + tg Y}{1 + tg X tg Y}$.

[Руст]

STilda писал(а):

Хорошо. Продолжаю философствовать.

Рассмотрим пространство обычных трехмерных векторов с действительными коэффициентами. Возьмем геометрическую сторону.
1. Скалярное произведение двух единичных векторов задает угол между ними. Когда скалярное произведение равно нулю, это соответствует перпендикулярным векторам и мы представляем как выглядят два перпендикулярных отрезка.
2. Теперь возьмем три единичных вектора. Как интерпретировать тернарное скалярное произведение $T$? Как выглядят тройки отрезков, которые дают нулевое тернарное произведение?

В физике сейчас используются тернарные и квадрипольные скалярные произведения с метрическими тензорами $g_{ijk},g_{ijkl}$ со скалярными произведениями $g_{ijk}x^iy^jz^k$ и $g_{ijkl}x^iy^jz^ku^l$ (считается что по одинаковым индексам производится суммирование). Есть институт гиперкомплексных систем, где считают такие метрические тензоры для описания пространства-времени более естественными, чем Римановы метрические тензоры $g_{ij}$.