Функция Ляпунова

[Alexey1]

Скажите правильно ли решены следующие задачи.

$x_1 ' = x_2$
$x_2 ' = -g(x_1)$.
Необходимо найти достаточные условия для $g(x)$, чтобы $x_e=(0;0)$ было устойчивым. Запишем $g(0)=0$, и $g(x)$ должна быть дифференцируема.
Используем функцию Ляпунова
$V(x_1,x_2)=\frac {1} {2} x_2 ^2 + \int_{0}^{x_1} g(y) dy$, $V'=0$.
Так как необходимо чтобы $V \geq 0$, то $\int_{0}^{x_1} g(y) dy \geq -\frac {1} {2} x_2 ^2$. Но так как решение является устойчивым и начальные условия не заданы, то $\int_{0}^{x_1} g(y) dy \geq 0$. Откуда следует, что $g(x) \geq 0$.

Другая задача.
Можно ли сделать так
$x_1 ' = -2x_1 -x_2 + f(x_1)$
$x_2 ' = --2x_2 +2f(x_1)$.
Пусть $V(x_1,x_2)=x_1 ^2+x_2^2$, тогда
$V'(x_1,x_2)= 2x_1x_1'+2x_2x_2'=2x_1(-2x_1-x_2+f(x_1))+2x_2(-2x_2+2f(x_1))=-4x_1^2-2x_1x_2+2x_1f(x_1)-4x_2^2+4x_2f(x_1) \leq -4 x_1^2 -2x_1x_2 +2x_1 \frac {1} {2} x_1 -4x_2^2+4x_2 \frac {1} {2} x_1= -3x_1^2-4x_2^2 \leq 0$,
если $f(x_1) \leq \frac {1} {2} x_1}$.

[V.V.]

В первом не так. Ведь нам надо, чтобы $V$ была положительно определена и при отрицательных $x$.

Поэтому $\mbox{sgn}\, g(x)=\mbox{sgn}\, x$.

(См. стр. 56 http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf)

[Alexey1]

Спасибо, существенное замечание.

[bot]

Alexey1 писал(а):

Необходимо найти достаточные условия для $g(x)$, чтобы $x_e=(0;0)$ было устойчивым.

Забавное сочетание: необходимо найти достаточное условие. Вот возьму я $g(x)=x$ и пусть кто-нибудь попробует возразить, что этого недостаточно.