Сходимость последовательности

[Diom]

Известно что последовательность подчиняющаяся неравенству:
\left\Vert x_{i+2}-x_{i+1}\right\Vert \leq\beta\left\Vert x_{i+1}-x_{i}\right\Vert
сходится если \beta<1.
Но тут столкнулся с следующим вопросом. Можно ли говорить что последовательность сходится если имеет место:
\left\Vert x_{i+2}-x_{i+1}\right\Vert \leq\triangle\left(i\right)+\beta\left\Vert x_{i+1}-x_{i}\right\Vert
при \lim_{i\rightarrow\infty}\triangle\left(i\right)=0 и \beta<1.

[neo66]

Говорить то можно все, что угодно. Вот верно ли это утверждение, это другой вопрос. Ответ на него: неверно.

[Хорхе]

Утверждать, что последовательность сходится, можно в том и только в том случае, если

$$ \sum_{i} \Delta(i) < \infty. $$

(Я считаю, что $\Delta(i)>0$, это кажется естественным.)

[Diom]

Введем обозначение:
y_{i}=\left\Vert x_{i+1}-x_{i}\right\Vert
Я знаю что последовательность удовлетворяющая уравнению:
y_{i+1}=\beta y_{i}+\triangle\left(i\right)
будет \lim_{i\rightarrow\infty}y_{i}=0 если \beta<1
Мне казалось что уж такое:
y_{i+1}\leq\beta y_{i}+\triangle\left(i\right)
тем более должно стремиться к нулю.

[Хорхе]

Diom писал(а):

Введем обозначение:
y_{i}=\left\Vert x_{i+1}-x_{i}\right\Vert
Я знаю что последовательность удовлетворяющая уравнению:
...
будет \lim_{i\rightarrow\infty}y_{i}=0 если \beta<1

Из того, что модуль разности между последовательными членами стремится
к нулю еще не следует, что последовательность сходится...

[Dialectic]

Хорхе писал(а):

Diom писал(а):

Введем обозначение:
y_{i}=\left\Vert x_{i+1}-x_{i}\right\Vert
Я знаю что последовательность удовлетворяющая уравнению:
...
будет \lim_{i\rightarrow\infty}y_{i}=0 если \beta<1

Из того, что модуль разности между последовательными членами стремится
к нулю еще не следует, что последовательность сходится...

Почему это не следует? В полном пространстве это же вроде всегда имеет место.

[id]

Dialectic
Ряд $\sum \frac 1 n$

[Dialectic]

id писал(а):

Dialectic
Ряд $\sum \frac 1 n$

Согласен. Просто сдуру посчитал, что речь идёт о фундаментальной последовательности.

[Diom]

А если ввести дополнительное ограничение на последовательность - известно что норма всех её элементов ограничена.

[Brukvalub]

Возьмем отрезок [0 ; 1] и будем бегать по нему туда и обратно, уменьшая расстояние между последовательными числами. Получится ограниченная последовательность, которая не имеет предела, хотя расстояние между ее последовательными членами - бесконечно малая послд-сть.

[Хорхе]

Diom писал(а):

А если ввести дополнительное ограничение на последовательность - известно что норма всех её элементов ограничена.

Хорхе писал(а):

Утверждать, что последовательность сходится, можно в том и только в том случае, если

$$ \sum_{i} \Delta(i) < \infty. $$

[Diom]

Можно поинтересоваться откуда это взялось:

$$ \sum_{i} \Delta(i) < \infty. $$

[Хорхе]

Diom писал(а):

Можно поинтересоваться откуда это взялось:

$$ \sum_{i} \Delta(i) < \infty. $$

Приснилось
Вот вопрос попроще. Пусть дана положительная числовая последовательность $\{\Delta(n),n\ge 0\}$. При каких условиях на нее можно утверждать, что всякая последовательность $\{x_n,n\ge 1\}$ (например, из банахова пространства), удовлетворяющая $\|x_n-x_{n+1}\|\le \Delta(n)$, сходится?

Подсказка:
Ряд сходится (см. выше)

[Diom]

Объясню ситуацию чуть подробнее. Дело в следующем имеется первая последовательность в которой \Delta = 0 и потому эта последовательность сходится. Во вторую же последовательность входит эта \Delta и она есть не что иное как \left\Vert x_{i+1}-x_{i}\right\Vert из первой последовательности. В третью входит из второй и.т.д. Вот мне нужно попытаться доказать что вторая последовательность тоже сходится, а за ней и третья.
Может подскажете тогда как можно оценить в моем случае это

$$\sum_{i} \Delta(i) < \infty.$$

Единственное на что могу влиять это на коэффициент \beta

[id]

Бесконечная геометрическая прогрессия с $|q| < 1$ суммируема.