свойство коэффициентов уравнения Фоккера-Планка

[Gafield]

Ага, $A$ и $B$ перепутаны местами. И вместо $(x-y)$ должно стоять $(y-x)$. Ну а для доказательства надо внести производную по $t$ внутрь, заменить ее из уравнения на производные по $x$ и интегрировать по частям.

[Zo]

Gafield в сообщении #142018 писал(а):

Ага, $A$ и $B$ перепутаны местами. И вместо $(x-y)$ должно стоять $(y-x)$. Ну а для доказательства надо внести производную по $t$ внутрь, заменить ее из уравнения на производные по $x$ и интегрировать по частям.

Про коэф-т A - делом в том, что в книге, откуда эта задача, нет символа мат. ожидания для вычисления $A_0(y)$ - запись именно такая, как в моем самом первом посте.
Про коэф-т B все равно не догоняю, но начну, Вы уж меня скорректируйте, пожалуйста, что я не так делаю:
Вношу производную под интеграл:

$$\int_R (y-y_0)^2 P_t dy = \int_R (y-y_0)^2 d \left[(AP) +\frac{1}{2}(BP)_y\right ] =$$

$$=\left.\left [(y-y_0)^2\left((AP)+\frac{1}{2}(BP)_y\right)\right]\right|_R-2\int_R (AP+\frac{1}{2}(BP)_y)(y-y_0)dy$$

дальше можно ту часть под интегралом, которая с $(BP)_y$ еще раз проинтегрировать по частям, но не понимаю к чему это хорошему приведет. Буду рад подсказкам

[Gafield]

Все так. Внеинтегральная подстановка равна нулю. После повторного интегрирования внутри получится $P$ на что-то умноженное. Останется вспомнить, что $P\to \delta$ при $t\to t_0+0$.

Цитата:

Про коэф-т A - делом в том, что в книге, откуда эта задача, нет символа мат. ожидания для вычисления - запись именно такая, как в моем самом первом посте.

Ну и что. По смыслу это именно первый момент, коэффициент $A$ - скорость изменения среднего значения.

[Zo]

Gafield, спасибо большое, наконец-то получилось. Перед коэф-том A в уравнении знак минус должен стоять - в книге "недопечатка" , как оказалось.

И еще вопрос к Вам - не знаете, используется ли для практических задач уравнение ФПК где-нибудь или это просто часть тсп как теории, но реальных приложений нет?

[Gafield]

Насчет знака минус - надо аккуратно смотреть $(x-y)$ или $(y-x)$. Я не специалист по ТВ. Однако при $A=0$, $B=1$ получается уравнение диффузии (теплопроводности). Насколько хорошо оно описывает реальную диффузию, надо спрашивать физиков. Еще функция $P$ в этом случае используется в определении континуального интеграла по траекториям Фейнмана.

[LynxGAV]

Zo писал(а):

И еще вопрос к Вам - не знаете, используется ли для практических задач уравнение ФПК где-нибудь или это просто часть тсп как теории, но реальных приложений нет?

Как это нет приложений. Представьте себе стохастический процесс с правилами заданными на каком-нибудь клеточном автомате (или другой структуре). Для него можно составить master equation. Делая разложение этого уравнения по ван Кампену (это есть дальше в книге), в первом приближении получаются детерминистические уравнения, а во втором линейное уравнение Фоккера-Планка. В одной из недавних работ анализ математически ему эквивалентного уравнения Ланжевена показал, что флуктуации или шум, который виден в различных симуляциях (конкретных реализациях стохастического процесса) является на самом деле внутренним стохастическим резонансом. Вот ссылка на эту работу http://www.phy.umist.ac.uk/~ajm/mck_new05.pdf . Я интересуюсь данными вопросами и со всей уверенностью говорю, что некие ученые-физики уравнение Фоккера-Планка реально замучили, применяя его ко всям биологическим системам. Могу дать ссылки на другие статьи.

И простите, что влезла в мужской разговор .

[Zo]

LynxGAV в сообщении #142337 писал(а):

Вот ссылка на эту работу http://www.phy.umist.ac.uk/~ajm/mck_new05.pdf . Я интересуюсь данными вопросами и со всей уверенностью говорю, что некие ученые-физики уравнение Фоккера-Планка реально замучили, применяя его ко всям биологическим системам. Могу дать ссылки на другие статьи

Спасибо за ссылку, LynxGAV, а вы не могли бы мне еще книжек посоветовать(вот мне букинист, который Ван Кампена толкнул еще Гардинера советовал) - какие почитать, чтобы получше ознакомиться с темой, после того, как Ван Кампена осилю (хотя, если делать в нем упражнения, то видимо мне его надолго хватит ) ?
Под приложениями я имею ввиду конкретные практические задачи - т.е. не то, что пишут в статьях в целях познания, как же устроена природа, а чтобы химики или инженеры или кто-то еще применяли уравнения для расчета каких-то практических задач?

[LynxGAV]

Zo писал(а):

Спасибо за ссылку, LynxGAV, а вы не могли бы мне еще книжек посоветовать(вот мне букинист, который Ван Кампена толкнул еще Гардинера советовал) - какие почитать, чтобы получше ознакомиться с темой, после того, как Ван Кампена осилю (хотя, если делать в нем упражнения, то видимо мне его надолго хватит ) ?
Под приложениями я имею ввиду конкретные практические задачи - т.е. не то, что пишут в статьях в целях познания, как же устроена природа, а чтобы химики или инженеры или кто-то еще применяли уравнения для расчета каких-то практических задач?

Да, у меня тоже есть Гардинер и еще вот эта книга. Еще советую "Синергетику" Хакена для познания естественных процессов. Все эти книги ориентированы на человека с физическим образованием и не обладают математической строгостью изложения.

Насчет практических задач не могу сказать, потому что мой интерес ограничивается более абстрактными моделями.

[LynxGAV]

Zo писал(а):

И еще вопрос к Вам - не знаете, используется ли для практических задач уравнение ФПК где-нибудь или это просто часть тсп как теории, но реальных приложений нет?

Под приложениями я имею ввиду конкретные практические задачи - т.е. не то, что пишут в статьях в целях познания, как же устроена природа, а чтобы химики или инженеры или кто-то еще применяли уравнения для расчета каких-то практических задач?

Вчера была на семинаре и вспомнила это обсуждение.

Одна из проблем современной лингвистики касается появления ново-зеландского диалекта английского языка, который сформировался за ~50 лет. Лингвисты навыдвигали кучу, не проверенных элементарными расчетами, теорий. В докладе была предложена некая стохастическая модель эволюции языка, которую можно описать с помощью уравнения Фоккера-Планка. Используя методы, предложенные еще Фишером, авторы посчитали fixation probability (вероятность того, что определенная часть населения будет говорит на новом языке) и fixation time (время до того момента, когда какая-то часть населения будет говорит на новом диалекте или языке). Вывод суров: для того, чтобы ново-зеландский диалект сформировался за 50 лет, социальная структура населения должна была быть очень важна (отраженная в графе "кто с кем разговаривает"). Смотреть статьи Alan McKane и его бывшего PhD студента Gareth Baxter.