Если я где-то не прав, надеюсь, меня поправят.
Да, в аксиоматике евклидовой геометрии, составленной Гильбертом, скажем, неизбежно присутствуют аксиомы, напоминающие аксиомы действительных чисел. И именно потому, что евклидова прямая с отрезочками на ней должна-таки напоминать числовую. Когда в евклидовой геометрии появляются векторы (а они там появляются по глубоко внутренним причинам), то одномерные векторы как раз и становятся естественной моделью множества действительных чисел.
Евклид тоже старался, видимо, числовые аксиомы в геометрию включить (ну там что часть меньше целого, итп), но не вполне еще понимал, что делал.
Напротив, когда начинается разговор о действительных числах, то возникает естественное желание собрать из них пространство
, ввести на нем скалярное произведение, а затем длины и углы, и получится модель евклидовой геометрии.
Можно ли вывести аксиомы целых чисел, вещественных чисел из аксиом евклидовой геометрии?
"Вывести
аксиомы", конечно, нельзя. На то они и аксиомы. Но можно строить
модели одной аксиоматики в другой аксиоматике. И по вышеприведенным соображениям это можно сделать в обе стороны, а из этого как раз и следует сразу, что эти аксиоматики противоречивы или непротиворечивы одновременно.
Где-то я видел хорошую книжку про аксиомы евклидовой геометрии, поищу еще сейчас и запостю. Ну там вся геометрия ооочень аккуратно выводится из аксиом.
upd: вот она на английском:
http://uk.arxiv.org/abs/math/0702029
