геометрическое неравенство

[daogiauvang]

Данна точка $P$ внутри остроугольного треугольника $ABC$.
Доказывать,что
$PA^2+PB^2+PC^2 \geq \frac{4}{\sqrt{3}}S \left(1+ \frac{OP^2}{3R^2} \right)$
где$ S $ площадь треугольника $ABC$ и $R$ описанный радиус треугольника $ABC$

[daogiauvang]

Это правильно или нет!!!
$ \cos A \cos B \cos C \geq \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
где $A,B,C$ углы треугольника $ABC$

[VAL]

daogiauvang писал(а):

Это правильно или нет!!!
$ \cos A \cos B \cos C \geq \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
где $A,B,C$ углы треугольника $ABC$

Очевидно, что нет. Левая часть может быть отрицательной (если треугольник тупоугольный), а правая - нет.
Но и в остроугольном треугольнике это тоже неверно.
Похоже (на вскидку), что верно неравенство в другую сторону.

[daogiauvang]

daogiauvang писал(а):

Данна точка $P$ в строгом треугольнике $ABC$.Доказывать,что
$PA^2+PB^2+PC^2 \geq \frac{4}{\sqrt{3}}S \left(1+ \frac{OP^2}{3R^2} \right)$
где$ S $ площадь треугольника $ABC$ и $R$ описанный радиус треугольника $ABC$

а эта задача никому не интересно????

[VAL]

daogiauvang писал(а):

daogiauvang писал(а):

Данна точка $P$ в строгом треугольнике $ABC$.Доказывать,что
$PA^2+PB^2+PC^2 \geq \frac{4}{\sqrt{3}}S \left(1+ \frac{OP^2}{3R^2} \right)$
где$ S $ площадь треугольника $ABC$ и $R$ описанный радиус треугольника $ABC$

а эта задача никому не интересно????

А в этой задаче условие непонятное.
Что такое "строгий треугольник"?
Что такое $OP$?

[arqady]

VAL писал(а):

А в этой задаче условие непонятное.
Что такое "строгий треугольник"?
Что такое $OP$?

Ну до этого даже я могу догадаться:
имеется в виду остроугольный треугольник, точка

$$P$$

внутри него и

$$O$$

- центр описанной около этого треугольника окружности.

[TOTAL]

arqady писал(а):

Ну до этого даже я могу догадаться:
имеется в виду остроугольный треугольник, точка

$$P$$

внутри него и

$$O$$

- центр описанной около этого треугольника окружности.

Не факт. Возможно, как раз в том и состоит олимпиадность задачи, что условие провоцирует на неверную догадку.

[VAL]

arqady писал(а):

VAL писал(а):

А в этой задаче условие непонятное.
Что такое "строгий треугольник"?
Что такое $OP$?

Ну до этого даже я могу догадаться:

А почему "даже"?

Цитата:

имеется в виду остроугольный треугольник, точка

$$P$$

внутри него и

$$O$$

- центр описанной около этого треугольника окружности.

У меня были такие же подозрения насчет $O$.
А вот гипотеза про "строгость" была другая. Я полагал, этот термин означает, что вершины не лежат на одной прямой. Иными словами, "строгий треугольник" - это просто треугольник, а "нестрогий треугольник" - это просто тройка точек и отрезков, с концами в этих точках.
Впрочем, версию остроугольности я тоже держал в уме, но не считал основной

PS: Сейчас заглянул в первое сообщение темы и поменял приоритеты

[daogiauvang]

еще правильно или нет???
Данны два числа положительных $p,q $ причем $p+q=2$ и $a,b,c$ cтороны треугольника $ABC$.

Доказывать,что $ 2(pb^2+qc^2) \geq a^2$

[neo66]

Естественно, неправильно. Возьмите $p=0, q=2$.

[daogiauvang]

neo66 писал(а):

Естественно, неправильно. Возьмите $p=0, q=2$.

Ага, вот если $p,q >0 $ и$ p+q=2$, $a,b,c$ cтороны треугольника $ABC$ удовлетворяет равенству:$pb^2+qc^2+\frac{a^2}{4 \sin^2 A}=pqa^2$.
Доказывать,что :$pq > \frac{3}{4}$