критерий равенства интегралов (комплексных)

[ewert]

На самом деле вполне достаточно, чтобы интеграл по каждому из путей сколь угодно точно приближался интегралами по "вписанным" ломаным. Что для кусочно-гладких путей, разумеется, выполнено.

[Бабай]

Народ, я вот в самом начале ляпнул, что данная функция не является голоморфной в точке $a$ при отрицательных степенях. При этом я рассматривал её как дробно-рациональную функцию. Я постоянно встречаю высказывание, что такие функции аналитичны/голоморфны везде, где знаменатель не обращается в нуль. Однако она же всегда не зависит от $\bar{z}$, что является критерием голоморфности. Так что же, особые точки формально можно включить в область голоморфности или нет? Ну и равна производная бесконечности в одной точке, ну и что...предел-то по всем направлениям один и тот же ведь...хоть и бесконечный. Требуется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента или нет?

[ewert]

да, естественно, производная по зет по определению должна существовать (независимо от направления) и быть именно конечной. А вот про "независимость от зет с чертой" -- это всего лишь жаргон, не имеющий формально точного математического смысла, поэтому вовсе не критерий.

[Бабай]

Понятно. Но вот пусть мы рассматриваем нашу функцию на односвязной области, строго содержащуюся в $\mathbb{C}$. Вычисляя интеграл как было сделано выше, мы пользовались подстановкой $a+Re^{it}$, где радиус берётся строго больше нуля, то есть особая точка выкидывается. Не становится ли наша область многосвязной, приобретая ещё одну связную компоненту? Вообще можно её так трактовать как связную компоненту?

[ewert]

Наличие изолированной особой точки уже делает область неодносвязной. Что, кстати, не имеет прямого отношения к связности как таковой и, соответственно, к компонентам связности.

[Бабай]

Спасибо, понятно.

Но вот ещё такой вопрос. Вот наблюдается, что интеграл от нашей функции (возьмём a=0) $f(z)=1/z$ например кольце $0<|z|<2$ например по окружности единичного радиуса не равен нулю, а равен $2\pi{}i$. Говорится, что поэтому она не имеет в этом кольце первообразной (имеется в виду глобальной). Связано ли отсутсвие первообразной с тем, что путь пересекает интервал (-2,0), где комплексный логарифм не определён? Почему же несмотря на это интеграл по данному контуру существует, да имеет ещё вполне определённое значение?!

[ewert]

Бабай в сообщении #183078 писал(а):

Связано ли отсутсвие первообразной с тем, что путь пересекает интервал (-2,0), где комплексный логарифм не определён?

Это просто эквивалентные вещи. Только правильнее говорить не о неопределённости логарифма на отрезке, а о невозможности однозначно определить его на всём кольце.

Первообразная в любом случае равна логарифму. Поэтому неоднозначность логарифма в точности означает неоднозначность первообразной.

И возможной эта неприятность оказалась именно потому, что кольцо не односвязно, В этих условиях ниоткуда не следует, что интеграл по контуру, охватывающему дырку, будет нулевым. Ну вот для этой конкретной функции он и не равен нулю.

[Бабай]

Цитата:

Первообразная в любом случае равна логарифму. Поэтому неоднозначность логарифма в точности означает неоднозначность первообразной.

момент-момент
Так получается, что наш интеграл нельзя представить в замкнутом виде как прирост первообразной на замкнутом пути?
Что сам интеграл не нуль - Бог с ним....меня интересует представление интеграла как (однозначная?) разность первообразных. Ведь это же необходимо для того, чтоб он вообще имел какое-то значение или нет?

[ewert]

Бабай в сообщении #183085 писал(а):

Что сам интеграл не нуль - Бог с ним....

Нет, вовсе не Бог, тем паче что его и нет. Если разрезать кольцо хоть по предлагавшемуся Вами интервалу, хоть по любой другой линии, то на оставшейся области первообразная будет вполне определена -- поскольку контурам будет запрещено пересекать разрез. А вот если этот разрез убрать, то про обходе вокруг центра с возвратом в исходную точку первообразная получит ненулевое приращение. Это в точности и означает, что первообразная неоднозначна, т.е. не может быть однозначно определена на всём кольце. В этом, и только в этом смысле первообразная не существует.

[Бабай]

Вот теперь ясно! Спасибо!