критерий равенства интегралов (комплексных)

[Бабай]

Драсти!

Нужно вычислить комплексный интеграл

$\int\,{}(z-a)^n{}dz$ по окружности с центром в точке $a$. Интеграл вычислен. Он равен 0 при $n\neq{}-1$ и $2\pi{}i$ при $n=-1$.

Теперь тот же интеграл нужно вычислить по ориентированной (против часовой стрелки) границе квадрата с центром в точке $a$ и сторонами, параллельными осям координат.

Значит, если n=0, то он тривиально равен нулю. Если n>0, то проведя по диагонали ещё два пути, противоположных друг другу, и учитывая, что данная функция в этом случае голоморфна на всей плоскости, можно применить теорему Гурса о том, что интеграл равен нулю по ориентированной границе треугольников. По отношению к n<0 ничё сказать не удаётся.

Но вот вопрос. Интуитивно понятно, что этот интеграл при любом показателе $n$ должен быть равен интегралу, взятому по окружности...думаю из-за того, что четверть окружности можно гомотопно отобразить в сторону квадрата. Однако, по всей видимости теорему Коши о равенстве интегралов по гомотопным путям (с общими концами) здесь применить нельзя, потому что функция не является голоморфной в точке $a$ при отрицательных показателях степени.

Ведь правильно или я чего не догоняю?

[ewert]

Что за чепуха. Интеграл (вот именно в соотв. с теоремой Коши) не меняется при любой непрерывной (да пусть хоть и гомотопной, мне не жалко) деформации пути, не пересекающего при этом границу области голоморфности.

Причём, что любопытно -- ни непрерывность, ни даже гомотопность тут непосредственного отношения к делу не имеют. Просто вот геометрически очевидно, что не изменится -- и всё тут.

[AD]

Ну подумайте о том, что если пройти по одному пути, а потом по другому, то интегралы складываются. А потом подумайте, чем отличается квадрат от окружности.

[ewert]

кстати, у меня в связи с этим неожиданно проснулся один вопрос: а почему, собственно, интеграл не меняется при непрерывной деформации? Нет, понятно, конечно, что по теореме Коши, но -- формально почему? Собственно, вопрос вот в чём: а что такое, собственно, есть замкнутый контур? (с формальной точки зрения)

[Бабай]

ewert писал(а):

Что за чепуха. Интеграл (вот именно в соотв. с теоремой Коши) не меняется при любой непрерывной (да пусть хоть и гомотопной, мне не жалко) деформации пути, не пересекающего при этом границу области голоморфности.

Причём, что любопытно -- ни непрерывность, ни даже гомотопность тут непосредственного отношения к делу не имеют. Просто вот геометрически очевидно, что не изменится -- и всё тут.

Во первых это не чепуха! Просто сам не мог поверить, что Коши здесь применить нельзя! Прочитал Шабата, а там было написано, что функция должа быть вроде-как голоморфна везде.
После "не пересекающего при этом границу области голоморфности" стало понятно, что точка $a$ роли не играет, так как рассматриваем окружность ненулевого радиуса и значит первообразная нам всегда обеспечена вдоль всего пути.

Ну если геометрически видно, то под этой-то видимостью и подразумевается гомотопность, что тоже самое что и непрерывная деформация...не понимаю почему Вы делаете различие между этими двумя вещами...главное чтоб концы общие были.

[AD]

ewert, ну есть же там всякие "жордановы кривые" и "теорема Жордана" ... Как-то они там это формализуют.

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

Бабай, Вы еще не последовали моим советам? Тогда даю альтернативный совет: перечитайте доказательство той самой теоремы.

[Бабай]

ewert писал(а):

кстати, у меня в связи с этим неожиданно проснулся один вопрос: а почему, собственно, интеграл не меняется при непрерывной деформации? Нет, понятно, конечно, что по теореме Коши, но -- формально почему? Собственно, вопрос вот в чём: а что такое, собственно, есть замкнутый контур? (с формальной точки зрения)

сам себе этот вопрос задавал. каким образом интеграл оказывается инвариантен на классе путей?

[ewert]

Вот почему. В рассматриваем случае (и в подавляющем большинстве практически интересных) вопрос тривиален. Вот, например, тут: интеграл по границе каждого из криволинейных треугольничков в соответствии с теоремой Коши равен нулю -- и поэтому интеграл по каждой четверти окружности равен интегралу по двум соответствующим половинкам сторон.

А вот когда речь заходит о гомотопии общего вида -- сразу возникает формальная проблема: два пути могут пересекаться сколь угодно причудливым образом. Понятно, что это по существу не имеет значения, но -- как это обосновать именно формально? и при этом не впадая в ненужное занудство?

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

AD в сообщении #182796 писал(а):

, ну есть же там всякие "жордановы кривые" и "теорема Жордана" ... Как-то они там это формализуют.

да, им -- как-то... А мне -- рассказывать, и как можно короче, и по возможности аккуратно!

[Бабай]

AD писал(а):

ewert, ну есть же там всякие "жордановы кривые" и "теорема Жордана" ... Как-то они там это формализуют.

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

Бабай, Вы еще не последовали моим советам? Тогда даю альтернативный совет: перечитайте доказательство той самой теоремы.

блин не успеваю писать!

Цитата:

Ну подумайте о том, что если пройти по одному пути, а потом по другому, то интегралы складываются. А потом подумайте, чем отличается квадрат от окружности.

не понял к чему вы... к этому клонете? -->...ну их сумма всегда будет нуль, если их противоположно ориентировать...значит равны, если конечно они ничем не отличаются (топологически) что очевидно.

[ewert]

в том-то и дело, что они не то что топологически не отличаются (что правда, но не имеет значения), а -- образуют в совокупности границу области. После чего -- тупая ссылка на стандартную теорему Коши.

[AD]

Ну берем окружность и квадрат одинаковых "радиусов". Тогда квадрат - это окружность плюс четыре кусочка. Интеграл по границам кусочков равен нулю, потому что функция в них голоморфна. Всё. ewert только что это же самое написал.

[Бабай]

AD, вы то же самое доказательство имеете в виду?...из Введения в Компан Шабата ...с разбиением области определения гомотопии на "квадратики"?

[AD]

Бабай в сообщении #182803 писал(а):

вы то же самое доказательство имеете в виду?

Не уверен.

[Бабай]

AD писал(а):

Ну берем окружность и квадрат одинаковых "радиусов". Тогда квадрат - это окружность плюс четыре кусочка. Интеграл по границам кусочков равен нулю, потому что функция в них голоморфна. Всё. ewert только что это же самое написал.

ах вонна-чё
да оригинально!!

[Someone]

Ещё теорема о системе контуров есть.

Кстати, "гомотопно отобразить" - какой-то странный термин. Есть понятие гомотопии. Гомотопия двух непрерывных отображений $f_0\colon X\to Y$ и $f_1\colon X\to Y$ - это непрерывное отображение $F\colon X\times[0,1]\to Y$, удовлетворяющее условиям $F(x,0)=f_0(x)$ и $F(x,1)=f_1(x)$ при всех $x\in X$.
Если говорить о замкнутых кривых, по которым вычисляются интегралы, то здесь $X=S^1$ - окружность, $Y$ - область, где функция голоморфна, отображения $f_0$ и $f_1$ обычно предполагаются кусочно гладкими, и от гомотопии следует требовать, чтобы при каждом $t\in[0,1]$ отображение $f_t\colon X\to Y$, определяемое равенством $f_t(x)=F(x,t)$ для всех $x\in X$, также было кусочно гладким.