Метрика

[Usimov]

AlexNew писал(а):

И так что же такое параллельный перенос?

Если говорить на элементарном языке - а зачем усложнять? - то перенести вектор из точки а в точку b многообразия означает просто определить изоморфизм f* соответсвующих касательных пространств. Ясно, почему это должен быть именно изоморфизм. Если пространство не евклидово, то простой аналогии с параллельностью получить нельзя. И значит надо определить какие-то ограничения (если они нужны..) на такой произвольный изоморфизм. Например, можно для произвольной гладкой кривой u(t) на многообразии определить некоторый образ в касательном расслоении (в каждой точке x многообразия "добавляется" касательное пространство TxM), т.е. кривую в этом касательном расслоении (лифт) f(u(t)). Если такая кривая (лифт) однозначно определяется начальным условием f(u(o))=X (т.е. уловием "прохождения" через данный вектор в точке а), то и в конечной точке b мы получим некоторый вектор f(u(1))=Y. Данное отображение и будет изоморфизмом касательных слоев. Получается, что этот параллельный перенос будет зависить от выбора кривой u(t) на многообразии.
Остается только вопрос, как определить поднятие кривой до своего лифта. Это и есть та произвольность, которая остается нам при выборе той или иной связности.

AlexNew писал(а):

Второе заблуждение - пример со сферой – сфера это n-1 поверхность, то есть дополнительное уравнение, которое ограничивает преобразования векторов – физическое условие, не нужно это путать с координатными эффектами.

Это условие геометрическое, а значит и математическое, и поэтому никакого отношения к физике не имеет. А если все "происходит" на сфере, то вполне логично задать гладкую сруктуру на ней (лок. коорд.), и не вспоминать, что она вложима в объемлющее евклидово пространство.

AlexNew писал(а):

Вся возня с коэффициентами - это искусственные проблемы которые сами себе создали недалекие товарищи введя локальные координаты.
Никто не мешает ввести декартовые координаты и забыть пря весь этот бред.

Люди испокон веков стремились любую систему свести к простым вещам. Введение гладкой структуры (локальных координат) - это способ локально свести изучение сложно устроенного пространства к изучению евклидовой области. Это именно и есть способ свести локально все к евклидовому пространству . При этом, конечно, вся эта теория нужна не для банальных вещей, а для решения сложных топологических, геометрических и физических задач. Например, для описания ОТО.

[Munin]

epros в сообщении #182482 писал(а):

А это не синонимы? Или Вы под "метрикой" автоматически понимаете матрицу чисел?

Нет, это не синонимы. Под метрикой я понимаю расстояния между точками. Грубо говоря, интегралы метрического тензора по геодезическим. Поэтому, в частности, метрический тензор в точке есть, а метрики нет, метрика только в окрестности. В принципе, можно в разговоре упрощать "метрический тензор" до "метрики", но делать это осторожно, отслеживая, чтобы не получилось потенциально неверных утверждений.

При переносе окрестности её метрика, разумеется, меняется. Да и сама окрестность зачастую тоже.

Добавлено спустя 18 минут 37 секунд:

Usimov
Вот теперь пусть AlexNew попытается всё это понять :-)

[pppppppo_98]

epros писал(а):

pppppppo_98 писал(а):

Хорошо со случаем евклидовой геометрии вопрос снят, а как быть со случаем глобальной невырожденной во всем многообразии псевдоевклидовой метрики. Является ли равенство нулю тензора Римана-Кристоффеля во всей окресности некоторой достаточным условием приведения метрики к каноническому диагональному виду?

Является. Механизм приведения таков: Приводите метрику к каноническому виду в точке, потом вектора получившегося базиса из этой точки параллельно переносите во все точки окрестности, получившиеся n векторных полей задают новую координатную сетку в этой окрестности. Поскольку кривизна пространства во всей окрестности нулевая, результат переноса не зависит от пути. А поскольку метрика согласована со связностью, перенос метрики 1) имеет результатом метрику в данной точке, 2) сохраняет компоненты метрики относительно базиса, перенесённого вместе с метрикой. Т.е. в любой точке данной окрестности компоненты метрики будут иметь тот же вид, что и в исходной точке.

Спасибо

[epros]

Munin писал(а):

Нет, это не синонимы. Под метрикой я понимаю расстояния между точками. Грубо говоря, интегралы метрического тензора по геодезическим.

Ну, можно и так. Можно это называть "глобальной" метрикой: т.е. это функция от пары точек, определяющая расстояние между ними. Я же говорю о локальной метрике, т.е. о расстояниях по бесконечно коротким отрезкам геодезических.

Munin писал(а):

Поэтому, в частности, метрический тензор в точке есть, а метрики нет, метрика только в окрестности. В принципе, можно в разговоре упрощать "метрический тензор" до "метрики", но делать это осторожно, отслеживая, чтобы не получилось потенциально неверных утверждений.

Вот я и "упрощаю", говоря о бесконечно малых расстояниях около данной точки и имея в виду, что это именно то, что целиком и полностью определяется метрическим тензором.

[Munin]

epros в сообщении #182566 писал(а):

Ну, можно и так. Можно это называть "глобальной" метрикой:

Не. Глобальная метрика - это не в малой окрестности, а на всём многообразии (малость окрестности я забыл упомянуть).

epros в сообщении #182566 писал(а):

Я же говорю о локальной метрике, т.е. о расстояниях по бесконечно коротким отрезкам геодезических.

Да, я тоже о них. Вот эта самая локальная метрика - может быть по-разному устроена в разных точках, потому что в этих разных точках может быть разная кривизна. И тогда перенести систему бесконечно коротких отрезков геодезических не получится.

epros в сообщении #182566 писал(а):

Вот я и "упрощаю", говоря о бесконечно малых расстояниях около данной точки и имея в виду, что это именно то, что целиком и полностью определяется метрическим тензором.

Вот не целиком и полностью оно определяется метрическим тензором в точке. Оно целиком и полностью определяется либо метрическим тензором во всей окрестности, либо всем разложением метрического тензора в ряд Тейлора в точке. Где-то так.

[epros]

Munin писал(а):

Да, я тоже о них. Вот эта самая локальная метрика - может быть по-разному устроена в разных точках, потому что в этих разных точках может быть разная кривизна. И тогда перенести систему бесконечно коротких отрезков геодезических не получится.

Что-то я не понял, что нам помешает перенести бесконечно короткий отрезок? Или Вы рассматриваете пространство с какими-нибудь особенностями, скажем, с разрывами метрики?

Munin писал(а):

epros в сообщении #182566 писал(а):

Вот я и "упрощаю", говоря о бесконечно малых расстояниях около данной точки и имея в виду, что это именно то, что целиком и полностью определяется метрическим тензором.

Вот не целиком и полностью оно определяется метрическим тензором в точке. Оно целиком и полностью определяется либо метрическим тензором во всей окрестности, либо всем разложением метрического тензора в ряд Тейлора в точке. Где-то так.

Что Вы имеете в виду? Длина малого отрезка определяется так же, как длина вектора в этой точке: двойной свёрткой разностей его координат с компонентами метрического тензора. Всё остальное - члены более высокого порядка малости. И метрический тензор "во всей окрестности", собственно, есть результат его переноса из рассматриваемой точки (конечно, если речь идёт о метрике, согласованной со связностью).

[Munin]

epros в сообщении #182617 писал(а):

Что-то я не понял, что нам помешает перенести бесконечно короткий отрезок?

Отрезок - ничто. И даже треугольник - ничто. А вот как только мы в этом треугольнике проведём медиану, начнутся некоторые сложности. Угу?

epros в сообщении #182617 писал(а):

Что Вы имеете в виду? Длина малого отрезка определяется так же, как длина вектора в этой точке

Проблема только в том, что вектор-то можно отложить в точке - он лежит в касательном пространстве - а отрезок нельзя отложить в точке. Он всегда лежит в какой-то, хотя бы малой, но окрестности.

epros в сообщении #182617 писал(а):

Всё остальное - члены более высокого порядка малости.

Более высокого, чем что? У нас никаких приближений по порядку малости не вводилось.

[AlexNew]

epros писал(а):

А это не синонимы? Или Вы под "метрикой" автоматически понимаете матрицу чисел?

Под метрикой я понимаю тензорное поле, используемое для определения длины любого вектора либо скалярного произведения 2х векторов (все остальное заблуждения)
А “матрица чисел” это конкретное числовое представление метрики в данных координатах.

Usimov писал(а):

определить изоморфизм f* соответствующих касательных пространств.

Либо говоря простым человеческим языком записать связь между локальными кривыми координатами, которые 100 лет никому не нужны в запутанух общих вопросах, в конкретных задачках юзайте на здоровье.

Usimov писал(а):

Если пространство не евклидово, то простой аналогии с параллельностью получить нельзя.

Евклидовость (вид метрики) не имеет к этому никакого отношения, не раз это подчеркивал.
Подумайте как вы определяете параллельность?

Usimov писал(а):

Это условие геометрическое, а значит и математическое, и поэтому никакого отношения к физике не имеет.

я под физикой понимаю наблюдаемые вещи, не зависимые от способа описания.

Usimov писал(а):

Введение гладкой структуры (локальных координат) - это способ локально свести изучение сложно устроенного пространства к изучению евклидовой области.

Ага, другими словами взять физический тензор и записать его в хитрых координатах, так чтобы его числовое представление совпало с числовым представлением евклидового тензора (метрики) в декартовых координатах, Не ужели вы не понимаете какой это жуткий БРЕД!!!!

Usimov писал(а):

Это именно и есть способ свести локально все к евклидовому пространству

Да, да, я как раз об этом раньше и говорил.

Usimov писал(а):

Например, можно для произвольной гладкой кривой u(t) на многообразии определить некоторый образ в касательном расслоении (в каждой точке x многообразия "добавляется" касательное пространство TxM), т.е. кривую в этом касательном расслоении (лифт) f(u(t)). Если такая кривая (лифт) однозначно определяется начальным условием f(u(o))=X (т.е. условием "прохождения" через данный вектор в точке а), то и в конечной точке b мы получим некоторый вектор f(u(1))=Y. Данное отображение и будет изоморфизмом касательных слоев. Получается, что этот параллельный перенос будет зависеть от выбора кривой u(t) на многообразии.
Остается только вопрос, как определить поднятие кривой до своего лифта. Это и есть та произвольность, которая остается нам при выборе той или иной связности.

Для меня это бред, а для вас набор абстрактных понятий со связями, за которыми вы не видите сути.
Вы не понимаете что такое векторное пространство в касательном слоее. Уверен вы думаете что "наверное это как то связано с кривизной пространства" при этом вы "понимаете" под кривизна пространства картинку со сферой и формальную запись тензора Римана" : ))

Это была шутка наверное все наоборот : ))

Munin писал(а):

чтобы его направление сохранялось

Да!!?? и как вы определите направление, без привлечения небесных сфер Платона?

Munin писал(а):

Понять, что такое параллельный перенос, можно только геометрически, представляя себе искривлённую поверхность и отложенные в касательных пространствах к разным точкам перенесённые векторы.

: ))))

epros писал(а):

"Физическое условие" или "дополнительное уравнение", или ещё что-то придумаете: Но в любом случае сфера - это двухмерное пространство. Так что Вам ничто не мешает выполнять в нём все соответствующие геометрические операции, в том числе - параллельный перенос.

Да разумеется а расстояние на этой сфере можно мерять в попугаях, тоже никто не мешает.
1 [попугай] такая же единица измерения как и любая другая, все что нужно сделать это разработать теорию усреднения попугаев и применять ее корректно! Однако коварны попугаи в секунду в квадрате, потому как до устанавления связь между попугаями и силами в природе остается один шаг.
Правда пока не ясно как попугаев объединить с квантовой механикой, но работа многих ученых над этой проблемой дает надежду на успех.

epros писал(а):

Тем не менее, не вернулась. Причём отклонилась на величину, в точности соответствующую предсказаниям ОТО.

Да… интересно, а после следующего, и следующего оборотов? продолжала вращается вокруг вектора скорости гироскопа? И чем определяется частота такого вращения? От куда появился момент?

epros писал(а):

Метрика, согласованная со связностью, по определению не меняется при переносе. Но компоненты её могут меняться.

Вы совсем не понимаете, а главное не слушаете!, просто отписки…

Munin писал(а):

Под метрикой я понимаю расстояния между точками. Грубо говоря, интегралы метрического тензора по геодезическим.

Метрика действует не только на вектора перемещения, по общему мнению, почему все так думают затрудняюсь ответить. А геодезические вообще из другой басни.
Смотрите мое определение для понимания

[epros]

Munin писал(а):

epros в сообщении #182617 писал(а):

Что-то я не понял, что нам помешает перенести бесконечно короткий отрезок?

Отрезок - ничто. И даже треугольник - ничто. А вот как только мы в этом треугольнике проведём медиану, начнутся некоторые сложности. Угу?

Сложности с тем, что она после переноса в каком-то высоком порядке малости может перестать быть медианой? Ну и что? Мы говорили о метрике (локальной), т.е. о том, что определяет расстояния между близкими точками. Какая проблема её перенести? И чем это отличается от переноса метрического тензора?

Munin писал(а):

Проблема только в том, что вектор-то можно отложить в точке - он лежит в касательном пространстве - а отрезок нельзя отложить в точке. Он всегда лежит в какой-то, хотя бы малой, но окрестности.
...
Более высокого, чем что? У нас никаких приближений по порядку малости не вводилось.

Ох, Munin, чувствую я, что Вас понесло... Мы говорили о малом отрезке и о том, что его длина определяется метрическим тензором в точке с точностью до членов более высокого порядка малости. Должен ли я объяснять, что такое "более высокие порядки малости"?

[Munin]

AlexNew в сообщении #182666 писал(а):

(все остальное заблуждения)

Ах какие громкие слова. Когда ж вы скромности-то научитесь?

AlexNew в сообщении #182666 писал(а):

Под метрикой я понимаю тензорное поле, используемое для определения длины любого вектора либо скалярного произведения 2х векторов

А хорошо бы, чтобы вы всё это понимали под метрическим тензором.

AlexNew в сообщении #182666 писал(а):

Либо говоря простым человеческим языком записать связь между локальными кривыми координатами, которые 100 лет никому не нужны в запутанух общих вопросах, в конкретных задачках юзайте на здоровье.

Нет, деточка, это не то же самое. И касательные пространства (а не локальные кривые координаты) нужны всем именно в запутанных общих вопросах. Которые от них становятся резко менее запутанными.

AlexNew в сообщении #182666 писал(а):

Евклидовость (вид метрики) не имеет к этому никакого отношения, не раз это подчеркивал.

От многократного повторения ошибка не перестаёт быть ошибкой.

AlexNew в сообщении #182666 писал(а):

Да!!?? и как вы определите направление, без привлечения небесных сфер Платона?

Через связность. Собственно, это одно и то же: задать связность на гладком многообразии и задать связь между направлениями в разных точках этого многообразия. Думаю, слово "связность" отсюда и происходит.

AlexNew в сообщении #182666 писал(а):

Да… интересно, а после следующего, и следующего оборотов? продолжала вращается вокруг вектора скорости гироскопа? И чем определяется частота такого вращения? От куда появился момент?

Это для вас пока неподъёмные вопросы.

AlexNew в сообщении #182666 писал(а):

Метрика действует не только на вектора перемещения, по общему мнению, почему все так думают затрудняюсь ответить.

Всё очень просто: в многообразиях вообще нету вектора перемещения. Есть только пути. А векторов нету. Вот так-то.

AlexNew в сообщении #182666 писал(а):

А геодезические вообще из другой басни.

Из той же, но это вообще не вам было сказано.

AlexNew в сообщении #182666 писал(а):

Смотрите мое определение для понимания

Зачем мне смотреть на результаты вашего непонимания?

Добавлено спустя 9 минут 54 секунды:

epros в сообщении #182680 писал(а):

Сложности с тем, что она после переноса в каком-то высоком порядке малости может перестать быть медианой?

Да. Точнее, перестанет быть равна медиане. Как объект её после переноса вообще нельзя будет определить однозначно.

epros в сообщении #182680 писал(а):

Ну и что? Мы говорили о метрике (локальной), т.е. о том, что определяет расстояния между близкими точками. Какая проблема её перенести? И чем это отличается от переноса метрического тензора?

Именно эти высшие порядки малости и мешают.

Слушайте, я не понимаю. Вот замшелые физики - понятно, они умеют думать только в порядках малости, им иначе не объяснишь. Но ведь вы же математик. Отличаете кривую (в малой окрестности) от касательной. Понимаете, что пока слова "предел" или указания на порядок малости не произнесено, отождествлять их нельзя. Знаете (должны знать) описание всей этой машинерии без порядков малости, в терминах касательного расслоения. Так что же я вас убеждать в очевидных вещах должен?

epros в сообщении #182680 писал(а):

Мы говорили о малом отрезке и о том, что его длина определяется метрическим тензором в точке с точностью до членов более высокого порядка малости.

Нет, мы об этом не говорим. Вы это подразумеваете. Но забываете произнести. Это плохо. А я, соответственно, и не подразумеваю: зачем, ведь вы же не произносите? Длина малого отрезка геодезической определяется метрическим тензором с точностью до второго порядка, но это не значит, что она в точности равна чему-то. А в понятие метрики (не дифференциальной метрики, а просто метрики) никаких "с точностью до" не входит. Там речь только о точном равенстве.

[epros]

Munin писал(а):

Слушайте, я не понимаю. Вот замшелые физики - понятно, они умеют думать только в порядках малости, им иначе не объяснишь. Но ведь вы же математик.

С чего Вы взяли? Вообще, мне очень странно, когда физику противопоставляют математике. Конечно, если взять, как Вы выражаетесь, "замшелого" физика (да ещё и экспериментатора) и "замшелого" математика, то у них во многом даже терминология будет разная. Но всё-таки в какой-то точке они прекрасно сойдутся.

Munin писал(а):

Отличаете кривую (в малой окрестности) от касательной. Понимаете, что пока слова "предел" или указания на порядок малости не произнесено, отождествлять их нельзя. Знаете (должны знать) описание всей этой машинерии без порядков малости, в терминах касательного расслоения. Так что же я вас убеждать в очевидных вещах должен?

По-моему, Вы просто любите создавать проблемы на пустом месте. Я знаю, что такое касательное расслоение, и я прекрасно понимаю, что векторы - это объекты линейного пространства, а потому непосредственно в Римановом пространстве их определять математически некорректно. Убеждать меня в этом не нужно. Но и Вы не забывайте, что малые отрезки гладких кривых во многих отношениях описываются векторами: Во всяком случае их длины равны длинам соответствующих векторов с точностью до членов более высоких порядков малости. Этого даже "произносить" специально не нужно, ибо это и так всем должно быть известно. Но я, тем не менее, уже несколько раз "произнёс". Чего ещё-то Вы от меня хотите?

Munin писал(а):

Нет, мы об этом не говорим. Вы это подразумеваете. Но забываете произнести. Это плохо. А я, соответственно, и не подразумеваю: зачем, ведь вы же не произносите?

Да произнёс уже несколько раз. Специально для тех, кому без этого непонятно (или кто не хочет понимать).

Munin писал(а):

Длина малого отрезка геодезической определяется метрическим тензором с точностью до второго порядка, но это не значит, что она в точности равна чему-то.

А кто говорил про "в точности"? Речь была о длине малых отрезков (кстати, не обязательно геодезических, а вообще любых гладких кривых), а когда говорят о сравнении малых величин, то "с точностью до более высоких порядков малости" обычно автоматически подразумевается.

[Usimov]

Munin писал(а):

AlexNew в сообщении #182666 писал(а):

Под метрикой я понимаю тензорное поле, используемое для определения длины любого вектора либо скалярного произведения 2х векторов

А хорошо бы, чтобы вы всё это понимали под метрическим тензором..

Все же формально метрикой, а точнее римановой метрикой на многообразии как раз и называют этот самый тензор. Конечно, спорить о терминологии бессмысленно, но, как показывают теоремы, для паракомпактного многообразия метрический тензор определяет метрику в смысле топологии, т.е. наделяет пространство расстоянием. Причем топология многообразия совпадает с топологией полученного метрического пространства.
Конечно, именно поэтому в подавляющем большинстве книг тоже всегда используют термин "метрика" для обозначения метрического тензора. Это эквивалентные понятия. Поэтому непонятно, почему вы делаете такое ударение на их различие... Нельзя же требовать формально добавлять "риманова" метрика, или "неопределенная риманова" метрика и т.д.

[Someone]

Usimov в сообщении #182955 писал(а):

Это эквивалентные понятия.

Ну нет. Есть тьма метрик, которые никаким метрическим тензором не определяются.

[Usimov]

Someone писал(а):

Usimov в сообщении #182955 писал(а):

Это эквивалентные понятия.

Ну нет. Есть тьма метрик, которые никаким метрическим тензором не определяются.

Конечно, но фраза "это эквивалентные понятия" была употреблена в смысле того, что:
метрика=риманова метрика=метрическое тензорное поле. Вот это и есть эквивалентные понятия. Просто метрика определяет топологию, и когда говорят про метрику на топологическом пространстве (если она существует), а многообразие - топологическое пространство, подразумевают именно метрику, которая сохраняет топологию, а т.к. в геометрически и физически интересных случаях метрический тензорное поле (соответствующее) определяет именно такую метрику, которая сохраняет топологию, то это все же эквивалентные понятия в данном конкретном локальном случае.

[Munin]

Usimov в сообщении #182955 писал(а):

Все же формально метрикой, а точнее римановой метрикой на многообразии как раз и называют этот самый тензор. Конечно, спорить о терминологии бессмысленно, но, как показывают теоремы, для паракомпактного многообразия метрический тензор определяет метрику в смысле топологии, т.е. наделяет пространство расстоянием. Причем топология многообразия совпадает с топологией полученного метрического пространства.

Мне кажется, или здесь неправильно употреблено слово "формально"?