Срезки и суммы.

[AD]

Я опять о своём.

Пусть имеется вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathrm{P})$ и на нём последовательность случайных величин $\{\xi_k\}_{k=1}^\infty$. Про них известно, что они одинаково распределены, $\mathrm{P}\{\xi_k\leqslant y\}=F(y)$. Я готов наложить некоторую оценку на $F$ - скажем, вида $\mathrm{P}\{|\xi_k|>y\}=1-F(y)+F(-y)=\overline{\overline{o}}(1/y)$. Но существование матожидания или независимость предполагать нечестно. И вообще, это у меня чистая теория меры, в теорверских терминах я пишу исключительно из рекламных соображений.
Пусть также последовательность ненулевых (действительных) чисел $\{c_k\}_{k=1}^\infty$) достаточно быстро убывает (по модулю, но для начала можно считать, что они неотрицательны и убывают монотонно, если это поможет).

Обозначим срезку вот так:

$$[a]_n=\begin{cases}a,&|a|\leqslant n\\ n, &a>n\\ -n, &a<-n\end{cases}$$

Так вот, вопрос - верно ли, что вот такое матожидание

$$\boxed{\mathrm{M}\left(\left[\sum_{k=1}^\infty c_k\xi_k\right]_n\!\!-\sum_{k=1}^\infty c_k[\xi_k]_n\right)\xrightarrow[n\to\infty]{}0}$$

Добавлено спустя 28 минут 2 секунды:

Забыл отметить вот такой факт. Сумма

$$\sum_{k=1}^\infty c_k\xi_k$$

при достаточно быстро убывающих $c_k$ (а именно, при

$$\sum_{k=1}^\infty\mu\{|\xi_k|>\tfrac1{|c_k|}\}<\infty$$

будет абсолютно сходиться почти всюду - это я и так знаю. Идея - примерно как здесь. Вроде для этого даже одинаковая распределенность не нужна.