Какие есть мультипликативные функции от матриц?

[Профессор Снэйп]

Какие функции $f$ из $\mathrm{M}_n(\mathbb{R})$ (множество матриц размера $n \times n$ с действительными коэффициентами) в $\mathbb{R}$ обладают свойством $f(AB) = f(A)f(B)$? Есть ли среди них функции, отличные от функций вида $f(A) = g(\mathrm{det}(A))$, где $g$ --- функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, для которой $g(xy) = g(x)g(y)$?

[mkot]

Это конечно не ответ на Ваш вопрос, но всё-таки.
В Введении в алгебру Кострикина написано, что пусть мы имеем функцию $\mathcal{D}\colon\mathrm{M}(n, \mathbb{R}) \to \mathbb{R},$ обладающую следующими свойствами:
(1) $\mathcal{D}(AB) = \mathcal{D}(A)\cdot \mathcal{D}(B)$,
(2) $\mathcal{D}(F_{st}) = -1$ для каждой элементарной матрицы $F_{st}$,
(3) $\mathcal{D}(A) = \lambda$ для верхней треугольной матрицы вида:

$$A = \left( \begin{array}{cccc} \lambda & & &*\\ & 1 & \\ & & \ddots & \\ 0 & && 1 \end{array} \right), \lambda \in \mathbb{R}.$$

Тогда $\mathcal{D} = \mathrm{det}$.

Так что надо подумать, что будет, если не выполняются (2), (3).

[Руст]

Других нет. Вначале надо заметит, что значение $f(C^{-1}AC)=f(C)$.Если матрица А приводится к действительному диагональному виду то вычисляется через детерминант (здесь так же легче доказать в случае непрерывности). Общий случай легче доказать только для непрерывных функций.

[Профессор Снэйп]

Руст как всегда сделал бездоказательное утверждение, да ещё и написал его с ошибками. Может он, конечно, и прав, но я ему верю слабо. Слишком много уже ошибался.

По теме можно сразу заметить следующее. Либо $f(A) = 0$ для всех $A$, либо $f(A) = 1$ опять же для всех $A$, либо (основной случай) $f(\mathbf{0}) = 0$ и $f(\mathbf{1}) = 1$ (здесь $\mathbf{0}$ и $\mathbf{1}$ --- обозначения для нулевой и единичной матриц соответственно). Из $f(\mathbf{0})=0$ следует $f(N)=0$ для любой нильпотентной матрицы $N$. Ну и, конечно же, $f(C^{-1}AC) = f(A)$ и $f(C^{-1}) = 1/f(C) \neq 0$ для любой невырожденной матрицы $C$. Ничего большего пока не вижу.

[Полосин]

Пусть $f(AB)=f(A)f(B)$, $f(\mathbf{1})=1$, тогда для каждой матрицы $A$ значение $f(A)$ однозначно определяется жордановой формой этой матрицы.
Предположим, что $f$ "различает" число единиц, стоящих над главной диагональю в жордановой форме; тогда для

$$ T=\left( \begin{array} {cc} \ 1 & 1\\ \ 0 & 1\\ \end{array} \right) $$

$f(T) \ne f(\mathbf{1}) =1 $. Но жордановы формы всех матриц $T^n$ одинаковы, следовательно, $f(T^2)=(f(T))^2=f(T)$, откуда следует, что $f(T)=0$, что противоречит невырожденности матрицы $T$: $f(T)f(T^{-1})=f(\mathbf{1})=1$.
Итак, можно ограничиться рассмотрением диагональных матриц, а стало быть, в общем случае

$$ f(A)=f(diag[\lambda_1, ..., \lambda_k])=f(diag[\lambda_1, 1, ..., 1])...f(diag[1, ...,1,\lambda_k])=g(\lambda_1)...g(\lambda_k)=g(\lambda_1...\lambda_k)=g(\det A)$$

.

[ewert]

мне так скромно кажется, что прежде чем обсуждать функции от матриц -- неплохо ба договориться о том, что это вообще такое -- функция от матрицы

[bot]

В самой первой строчке первого поста договорились.

[mkot]

Поиск в google дал следующие ссылки:
http://books.google.ru/books?id=8EWnEh18rVgC&pg=PA38
http://books.google.ru/books?id=r9i14gGx_UAC&pg=PA160
http://www.im.uj.edu.pl/actamath/PDF/13-117-124.pdf

[Профессор Снэйп]

to Полосин: спасибо за ценные мысли! Но я Вас не до конца понял.

Мы рассматриваем "основной" случай и считаем, что $f(\mathbf{0}) = 0$ и $f(\mathbf{1})=1$. Как уже отмечалось выше, это не так лишь в случае, когда $f$ --- либо тождественный ноль, либо тождественная единица.

Насколько я понял, утверждается, что если все собственные числа матрицы $A$ (в том числе и комплексные) равны $1$, то для любого натурального $m > 0$ жорданова форма матрицы $A^m$ совпадает с жордановой формой матрицы $A$. Это вроде бы действительно так (наверное, можно было доказать это проще, но уж больно забавно получилось).

----------------------

В самом деле, будем рассматривать $A$ как матрицу над $\mathbb{C}$. Для каждого натурального $k > 0$ рассмотрим матрицу

$$ B_k = \mathbf{1} + A + \ldots + A^{k-1}. $$

Из определения $B_k$ легко видно, что $B_k(A-\mathbf{1}) = (A-\mathbf{1})B_k = A^k - \mathbf{1}$. Кроме того, $AB_k = B_kA = A + \ldots + A^k$.

Для $\lambda \in \mathbb{C}$ и фиксированного $k$ положим

$$ U_\lambda = \{ u \in \mathbb{C}^n : B_k u = \lambda u \} $$

равным подпространству всех собственных векторов матрицы $B_k$, и отвечающих собственному значению $\lambda \in \mathbb{C}$. Легко заметить, что $AU_\lambda \subseteq U_\lambda$, так как для $u \in U_\lambda$ справедливо $B_k(Au) = A(B_ku) = A \lambda u = \lambda Au$.

Пусть теперь $\lambda \neq k$. Тогда, с одной стороны, пространство $U_\lambda$ не может содержать ненулевой собственный вектор матрицы $A$, ибо для каждого такого вектора $u$ справедливо $Au = u$, $\lambda u = B u = u + \ldots + A^{k-1} u = ku$ и $u = 0$. А с другой стороны, так как $AU_\lambda \subseteq U_\lambda$, то пространство $U_\lambda$ должно содержать хотя бы один собственный вектор матрицы $A$ как пространство над алгебраически замкнутым полем. Значит, при $\lambda \neq k$ справедливо $U_\lambda = 0$ и все собственные значения матрицы $B_k$ равны $k$. А так как $k > 0$, то матрица $B_k$ не вырождена.

Далее. Ясно, что если $v$ --- собственный вектор матрицы $A$, то $v$ также является собственным вектором матрицы $A^k$. Через $V$ обозначим пространство всех собственных векторов матрицы $A$. Теперь аналогично проделанному выше рассмотрим для каждого $\lambda \in \mathbb{C}$ подпространство

$$ V_\lambda = \{ v \in \mathbb{C}^n : A^k v = \lambda v \}. $$

Опять имеем $AV_\lambda \subseteq V_\lambda$ из-за $A^k A v = A A^k v = \lambda Av$ для произвольного $v \in V_\lambda$. А раз все собственные числа матрицы $A$ равны $1$, то $Av = v$ должно выполняться для некоторого $v \in V_\lambda$ и если $V_\lambda \neq \{ 0 \}$, то $\lambda = 1$. Пусть $v$ --- произвольный собственный вектор матрицы $A^k$. По доказанному выше $A^k v = v$ и $AB_kv = Av + \ldots + A^kv = Av + \ldots + A^{k-1}v + v = B_kv$, то есть $B_k v \in V$ для всех $v \in V_1$. Однако $V \subseteq V_1$ и матрица $B_k$ невырождена; следовательно, $\mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(V_1)$ и множества собственных векторов у матриц $A$, $A^k$ совпадают при любом $k > 0$.

Пусть теперь $\mathbb{C}^n = W_1 + \ldots W_s$ --- "жорданово" разложение пространства $\mathbb{C}^n$ для матрицы $A$, то есть все $W_i$ --- непустые подпространства $\mathbb{C}^n$, $W_i \cap W_j = \{ 0 \}$ при $i \neq j$ и в каждом слагаемом существует ровно один (с точностью до умножения на константу) собственный вектор матрицы $A$. Из всего вышесказанного следует, что это же разложение будет "жордановым" для матрицы $A^m$. Ну а из равенства таких разложений легко вывести совпадение жордановых форм.

---------------------------

Не, ну хорошо, вот мы доказали, что если все собственные значения равны $1$, то $f(A) = 1$. Ну и что? Я согласен с тем, что для диагональных матриц значение $f$ задаётся мультипликативной функцией от определителя. Но почему вместо произвольных матриц можно рассматривать только диагональные? Что если я, например, захочу в целой жордановой клетке размера $k \times k$ заменить диагональное значение $1$ на значение $\lambda$; почему значение функции тогда обязано измениться в $\lambda^k$ раз?