Матричное уравнение

[ewert]

AlexNew писал(а):

или вы имели в веду что $ (AB-BA) \vec x = C \vec x = \vec 0 $ ?

это уже ближе, но икс тут ни к чему.

Я не очень удачно выбрал в том посте обозначения -- отредактировал, заменив всюду $A$ на $H$.

Так вот. В нашем случае роль однородного уранения $H\vec x=\vec0$ играет $AB-BA=0$, где матрица $A$ выступает в роли вектора $\vec x$, а $H$ -- это некий линейный оператор, действующий в левой части уравнения на матрицу $A$ и определяемый матрицей $B$. И даже не имеет значения, как конкретно определяемый; главное, что линейный.

[sergey2233]

AlexNew писал(а):

А = B^{-1} A B
Нужно найти все возможные А для данной B.
Имеет ли этот вопрос отношение к собственным значениям A, B ?

Помогите пожалуйсто разобраться.

Я бы решил эту задачу следующим простым способом
Как уже было сказано это уровнение можно свести к виду BA = AB

Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда
B^{-1} = A или

A = B^{-1} , тогда справедливо А = B^{-1} A B = B^{-1}

Я тут первый день зарегился и пока не совсем вьехал как писать формулы, матрицы и т.д., поэтому числовой пример не смогу привести. Возьми любую невырожденную матрицу и попробуй сделать как я написал - и у тебя все получится[/math]

[Draeden]

Нет. Если $B$ единичная, то $A$ любая, не только единичная.

[sergey2233]

Draeden писал(а):

Нет. Если $B$ единичная, то $A$ любая, не только единичная.

А если $B$ - не единичная матрица, а невырожденная матрица отличная от единичной

[AlexNew]

sergey2233 вы нашли частный случай, меня же интерисуют все решения, у вас не видно почему нет других решений.
Но к счастью мы уже нашли способ определения всех возможных матриц для однородного случая : ))

ewert не получается следить за ходом ваших мыслей ...
$HA = BA - BA = 0 $
предположим мы нашли $H$ правда я не уверен что он может всегда существовать, не ясно как это показать.

во вторм случае уже другой оператор
$H'A \neq H' C $

где $H'$ мы не знаем, поскольку
$H'A = BA - BA -C $

я имею в виду, что добавление $C $ изменит $A$ , а значит и $H$, (не вижу почему не изменит)

[ewert]

$HA=0 \quad\Longleftrightarrow\quad AB-BA=0\quad$ -- однородное уравнение;
$HA=C \quad\Longleftrightarrow\quad AB-BA=C\quad$ -- неоднородное уравнение.

Неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда $C$ ортогональна всем решениям $A$ однородного сопряжённого уравнения $H^*A=0$.
Здесь $H^*$ -- сопряжённый оператор, определяемый тождеством $(HA,F)\equiv(A,H^*F)$. Что понимать под скалярным произведением -- дело вкуса, лишь бы аксиомы выполнялись. От этого будет зависеть и явный вид сопряжённого оператора, и смысл требования ортогональности, но утверждение в любом случае останется в силе.

Проще всего использовать стандартное скалярное произведение, равное сумме произведений соответствующих элементов матриц: $(A,F)\equiv\sum_{i,k}a_{ik}b_{ik}$ (я по-прежнему рассматриваю вещественный вариант, т.к. это непринципиально). Тогда сопряжённый оператор выглядит так же, как и исходный, только умножение производится на транспонированную матрицу. Это легко проверить, но у нас-то ситуация ежё проще -- мы ведь исходим из того, что матрица $B$ уже диагональна. А тогда и оператор $H$ "диагонален" в том смысле, что его действие на матрицу $A$ сводится к умножению каждого элемента этой матрицы на некоторое число. В этом случае оператор самосопряжён и, следовательно, уравнение $H^*A=0$ равносильно уравнению $HA=0$.

Ну так вот. Общее решение однородного уравнения нам известно: это все матрицы, у которых в некоторых фиксированных позициях должны стоять нули, а все остальные элементы произвольны.
Условие ортогональности матрицы $C$ ко всем таким матрицам очевидно: требования на элементы матрицы $C$ ровно противоположны.

[Nik_Svan]

AlexNew писал(а):

А = B^{-1} A B
Нужно найти все возможные А для данной B.
Имеет ли этот вопрос отношение к собственным значениям A, B ?

Помогите пожалуйсто разобраться.

AlexNew, вы хватаетесь за многое и у вас поэтому полный сумбур в голове. Особенно это видно по вашим многочисленным перлам в разделе физики.

[AlexNew]

Nik_Svan писал(а):

вы хватаетесь за многое и у вас поэтому полный сумбур в голове. Особенно это видно по вашим многочисленным перлам в разделе физики.

Nik_Svan не помню чтобы я спрашивал у вас совет.

если вы прочитаете ветку до конца то поймете что это уравнение имеет прямое отношение к собственыым значениям обоих матриц.

спасибо ewert помогшему разобраться

[Nik_Svan]

AlexNew писал(а):

Nik_Svan писал(а):

вы хватаетесь за многое и у вас поэтому полный сумбур в голове. Особенно это видно по вашим многочисленным перлам в разделе физики.

Nik_Svan не помню чтобы я спрашивал у вас совет.

если вы прочитаете ветку до конца то поймете что это уравнение имеет прямое отношение к собственыым значениям обоих матриц.

спасибо ewert помогшему разобраться

Мне не надо было просматривать ветку, чтобы понять, чего вы хотите. Поэтому я сразу заглянул в физический отдел и там вашего бреда поначитался - пусть математики туда заглянут и тогда поймут, о чем я говорю. Я и дал вам совет, жалея вас, а то так неучем и помрете.

[AlexNew]

Цитата:

Я и дал вам совет, жалея вас, а то так неучем и помрете.

какая добрая душа : )

Цитата:

Мне не надо было просматривать ветку, чтобы понять, чего вы хотите.

может и мне расскажите, а то я давно теряюсь в догадках, "чего же это я хочу?"

[Nik_Svan]

AlexNew писал(а):

Цитата:

Мне не надо было просматривать ветку, чтобы понять, чего вы хотите.

может и мне расскажите, а то я давно теряюсь в догадках, "чего же это я хочу?"

Я вроде ясно выразился: увидел коммутирующие операторы и сразу в физику полез.

[AlexNew]

Цитата:

Я вроде ясно выразился: увидел коммутирующие операторы и сразу в физику полез.

1) 90% всей математики выросло из физики,
2) в физической ветке я этот вопрос не обсуждал.
3) у вас есть что добавить по существу вопроса?

[Nik_Svan]

AlexNew писал(а):

Цитата:

Я вроде ясно выразился: увидел коммутирующие операторы и сразу в физику полез.

1) 90% всей математики выросло из физики,
2) в физической ветке я этот вопрос не обсуждал.
3) у вас есть что добавить по существу вопроса?

По поводу первого пункта - я сразу понял откуда ноги растут.
По поводу второго пункта - я этого не утверждал
По поводу третьего пункта - я уже отвечал: учеба - процесс ненпрерывный и квантовых скачков не терпит.

[мат-ламер]

Задачи подобного рода рассматриваются в Гантмахере - Теория матриц (глава 8). Исходная задача в параграфе 2, а с правой частью - в параграфе 3.

[AlexNew]

мат-ламер Спасибо очень понятная и приятная книжка во многом!!!

правда пока не совсем ясно про неоднородное.

стр. 207
" если однородное уравнение имеет только нулевое решение (тогда и только тогда, когда матрицы А и В не имеют общих характеристических чисел. ),
то неоднородное имеет одно-единственное решение.

если же матрицы А и В имеют общие характеристические числа, то в зависимости от «свободного члена» С могут представиться два случая: либо однородное уравнение противоречиво, либо оно имеет бесчисленное множество решений"