Изоморфность групп

[vlad239]

У меня в учебнике Проскурякова есть любимая задача (правда, автор не задал того вопроса, который задаю я). Первое занятие по теории групп, которое я провожу, целиком посвящено ей.

Там приводится большой список объектов и спрашивается, что из этого списка - группы. А я еще спрашиваю, какие группы изоморфны. Самое интересное, разумеется, объяснять, почему какие-то группы не изоморфны.

К сожалению я знаю решения не всех пунктов (и не все, которые знаю, умею объяснять первокурсникам).

Вот прореженный список (только группы, убраны частные случаи более общих примеров, из очевидно изоморфных оставлена только одна). Многие пункты, разумеется, я и так умею решать.

$\mathbb Z, +$
$\mathbb Q, +$
$\mathbb Q \setminus\{0\}, \times$
$\mathbb Q_+, \times$
$GL(n,\mathbb R)$
$SL(n,\mathbb Z)$
$PSL(n,\mathbb Z)$
$\mathbb R$
$S_n$
$A_n$
биекции множества $M$ на себя.
$SO(3,R)$
все движения трехмерного пространства
$R[x],+$
Все рациональные числа, знаменатели которых равны произведениям простых чисел из данного множества $M$ (конечного или бесконечного) с целыми неотрицательными показателями (лишь конечное число которых может быть отлично от нуля), относительно
сложения.
корни $n$-й степени из единицы (как действительные, так и комплексные) относительно умножения;
корни всех целых положительных степеней из единицы относительно умножения;
Не забывайте, что для групп с параметрами решать надо для всех пар параметров.

Например, почему $GL(n,\mathbb R)$ не изоморфна $GL(m,\mathbb R)$ при $m\ne n$ - само по себе непростая задача (решать умею).

Влад.

[ibond]

Вариантов много - какие конкретно случаи вас интересуют?

[lofar]

Если группы изоморфны, то изоморфны и их центры. Центр $GL(n,\mathbb R)$ это диагональные матрицы или $(\mathbb R\setminus 0,\cdot)^n$ или $\mathbb Z_2^n\oplus(\mathbb R,+)$. При различных $n$ такие группы не изоморфны (если группы изоморфны, то изоморфны их подгруппы кручения).

Присоединяюсь к ibond, скажите, какие пары вызывают вопросы -- постараюсь помочь. Описывать все не хочется.

[neo66]

lofar писал(а):

Центр $GL(n,\mathbb R)$ это диагональные матрицы или $(\mathbb R\setminus 0,\cdot)^n$ или $\mathbb Z_2^n\oplus(\mathbb R,+)$.

Скажите, пожалуйста, куда переходит $(a_1, \dots ,a_n)\in (\mathbb R\setminus 0,\cdot)^n$ при этом изоморфизме?

[VAL]

lofar писал(а):

Если группы изоморфны, то изоморфны и их центры. Центр $GL(n,\mathbb R)$ это диагональные матрицы или $(\mathbb R\setminus 0,\cdot)^n$ или $\mathbb Z_2^n\oplus(\mathbb R,+)$.

Разве !?

[neo66]

VAL писал(а):

lofar писал(а):

Если группы изоморфны, то изоморфны и их центры. Центр $GL(n,\mathbb R)$ это диагональные матрицы или $(\mathbb R\setminus 0,\cdot)^n$ или $\mathbb Z_2^n\oplus(\mathbb R,+)$.

Разве !?

Похоже, опечатка вышла: имелось в виду $\mathbb Z_2^n\oplus(\mathbb R,+)^n$.

[VAL]

neo66 писал(а):

VAL писал(а):

lofar писал(а):

Если группы изоморфны, то изоморфны и их центры. Центр $GL(n,\mathbb R)$ это диагональные матрицы или $(\mathbb R\setminus 0,\cdot)^n$ или $\mathbb Z_2^n\oplus(\mathbb R,+)$.

Разве !?

Похоже, опечатка вышла: имелось в виду $\mathbb Z_2^n\oplus(\mathbb R,+)^n$.

Центр группы $GL(n,\mathbb R)$ состоит не из диагональных, а только из скалярных матриц. Поэтому центры $GL(n,\mathbb R)$ при разных $n$, как раз таки, изоморфны.

[neo66]

И правда, не заметил.

[AD]

Хорошо хоть, что не спрашивают про $(\mathbb{R},+)$ и $(\mathbb{C},+)$ ...

Или спаршивают? В смысле, не изоморфны ли случайно по тем же соображениям $(\mathbb{R},+)$ и $(\mathbb{R}[x],+)$?

[Юстас]

Смотрим на число классов эквивалентности в $GL(n), \ GL(m)$ вида$xHx^{-1}$, где $H$ множество решений уравнения $X^2=1$.

[lofar]

lofar писал(а):

...Центр $GL(n,\mathbb R)$ это диагональные матрицы ...

Да, это ересь -- оправдания нет. Юстас, похоже, дал правильную идею.

$(\mathbb R,+)$ изоморфно и $(\mathbb C,+)$ и $(\mathbb R[x],+)$, так как все эти абелевы группы являются континуально-мерными векторными пространствами над $\mathbb Q$.

[mihiv]

$GL(2)$ неизоморфна $GL(1)$, дальше по индукции.Шутка.