Задача из Теляковского: отрезок нельзя представить в виде...

[Sinus]

Доказать, что отрезок

\[[0;1]\]

нельзя представить в виде счетного объединения непустых замкнутых множеств.

P.S. Забыл добавить, что множества должны быть непересекающимися.

[ewert]

Кстати, можно: $[0;1]=[0;1]\cup[0;1]\cup[0;1]\cup\dots$

[id]

Но, если говорить о дизъюнктных объединениях, утверждение верно.

[Brukvalub]

Воспользуйтесь тем, что дополнение замкнутого множества в топ. пр-ве - открытое, а также т. о строении открытого множества на вещ. прямой.

[vvvv]

Но здесь нарушено условие непересекаемости!?

[ewert]

Brukvalub в сообщении #180894 писал(а):

Воспользуйтесь тем, что дополнение замкнутого множества в топ. пр-ве - открытое, а также т. о строении открытого множества на вещ. прямой.

Само по себе не поможет: счётное объединение замкнутых множеств, вообще говоря, не замкнуто. Тут вроде как нужна теорема Бэра о категориях.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #180908 писал(а):

Само по себе не поможет: счётное объединение замкнутых множеств, вообще говоря, не замкнуто. Тут вроде как нужна теорема Бэра о категориях.

Категоричности поубавьте... Мне помогло.
Не нужно брать сразу все счетное объединение, а нужно потихоньку увеличивать конечные объединения замкнутых множеств.....
Интересно посмотреть, что у Вас получится с т. Бэра. Я не вижу, как ее сюда притиснуть.

[ewert]

Ну например так притиснуть. Пусть $[0;1]=\bigcup_{i=1}^{\infty}C_i$ -- дизъюнктное объединение замкнутых множеств. Пусть $\Gamma_i$ -- граница $C_i$ и $M=\bigcup_{i=1}^{\infty}\Gamma_i$ -- соответствующее дизъюнктное объединение. Множество $M$ замкнуто как дополнение $[0;1]$ до объединения открытых внутренностей $C_i$. При этом каждое $\Gamma_i$ нигде не плотно в $M$: каждая точка $\Gamma_i$ (кроме, возможно, 0 или 1, но это, как легко сообразить, несущественно) является предельной для дополнения к $C_i$ -- а значит, сколь угодно точно приближается и элементами остальных $\Gamma_k$.

Ну и получили разбиение полного метрического пространства $M$ на счётное объединение замкнутых и нигде не плотных множеств $\Gamma_i$. Нехорошо-с.

А вот что касается потихоньку-полегоньку... Ну хорошо, получите Вы сужающуюся последовательность открытых множеств. Ну и откуда следует, что их пересечение не пусто? Нет, в конце-то концов -- конечно, но сей секунд это не доказывается. Придётся сочинить какую-нибудь конструкцию, идеологически аналогичную доказательству теоремы Бэра.

[id]

Без теоремы Бэра оно доказывается, например, в Дьяченко, "Действительный анализ в задачах", 3.110.
Правда, конструкция, которая там строится, достаточно похожа на саму т. Бэра.

[Brukvalub]

id в сообщении #180967 писал(а):

Без теоремы Бэра оно доказывается, например, в Дьяченко, "Действительный анализ в задачах", 3.110.

Посмотрел. Именно такую же штуку я и придумал

[ewert]

Ну если воспользоваться одномерной спецификой, то можно так. Пусть $\{\Omega_k\}$ -- убывающая последовательность открытых дополнений к частичным суммам тех самых замкнутых множеств. (Начинаем следить с того момента, когда точки 0 и 1 уже выкинуты и, соответственно, $\Omega_k$ воистину открыты.) Пусть $\Delta_1$ -- один из составляющих интервалов, содержащихся в некотором $\Omega_{k_1}$. На каком-то из следующих шагов он обязательно уменьшится (поскольку в конце концов, по предположению, должен исчезнуть), а поскольку получается это вычитанием конечного набора замкнутых подмножеств -- он делится на как минимум два интервала. Каждый из последних, в свою очередь, тоже рано или поздно разделится на минимум два интервала. Т.е. при некотором $k_2>k_1$ пересечение $\Omega_{k_2}$ и $\Delta_1$ будет состоять из минимум четырёх составляющих интервалов, хотя бы один из которых будет строго внутренним для $\Delta_1$; обозначим его $\Delta_2$.

Продолжая этот процесс, получим строго сужающуюся последовательность интервалов $\{\Delta_i\}$, ну а уж она-то и впрямь имеет непустое пересечение.

Уж не знаю, насколько это похоже на Дьяченко и остальных тов.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #180999 писал(а):

Продолжая этот процесс, получим строго сужающуюся последовательность интервалов $\{\Delta_i\}$, ну а уж она-то и впрямь имеет непустое пересечение.

Уж не знаю, насколько это похоже на Дьяченко и остальных тов.

Похоже. И нечего из т. Бэра по комарам стрелять - нефизкультурно это!

[xaxa3217]

думал как попроще обосновать это утверждение, не получилось..
От противного. Пусть есть подходящая счетная система замкн. не пересекающихся множеств $a_n$. Без ограничений общности можно рассматривать интервал $(0,1)$ (выбросив из $\left\{a_n\right\}$ множества содержащие концы и растянув какой-нибудь интервал не принадлежащий хотя бы одному из них). Назовем точку "плохой" справа, если она принадлежит $a_i$ для некоторого $i$, существует ее выколотая окрестность, справа в которой нет ни одной точки из $a_i$. Аналогично слева. Строго возрастающая последовательность плохих точек слева сходится к некоторой точке, которая так же является плохой слева. Действительно, сходимость очевидна, в то же время если бы предельная точка лежала в некотором $a_i$ со всей левой окрестностью, то и некоторые точки последовательности не были бы плохими слева. Точно такие же рассуждения для убывающей последовательности плохих точек справа. Далее, если в $a_i$ существует точка плохая как слева, так и справа, то она будет изолированной в этом множестве, выбрав в каждой окрестности таких точек по рациональному числу видно, что их не более чем счетное число, поэтому можно показать по индукции, что на $n$-ом шаге каждую такую точку можно заменить соотв. отрезком (лежащем в окрестности, которая не пересекает никакие построенные множества, это можно сделать тк их конечное число), а из всех $a_i, i>n$ "удалить" множество точек получившегося отрезка (пустые $a_i$ удалить из последовательности). Таким образом можно считать, что каждая точка либо является внутренней для некоторого $a_i$, либо плохая только слева, либо только справа. Выберем плохую слева точку $x_1$, плохую справа $y_1$ так, чтобы они не принадлежали одному замкнутому множеству и $x_1 < y_1$. Такую операцию можно сделать на любом интервале $(a,b)$ не принадлежащем полностью одному замкнутому множеству. Для этого выберем точку $x_1$ плохую слева (так в заданном интервале более одного замкнутого множества и они не пересекаются), аналогично на интервале $(x_1, b)$ плохую справа. Точно также в любом таком интервале мы можем выбрать интервал сколь угодно малой длины удовлетворяющий указанному выше условию. Ну теперь построим последовательность вложенных отрезков $[x_i, y_i]: y_i-x_i \to 0$, точка принадлежащая всем таким отрезкам будет предельной для $x_i$ и $y_i$, то есть плохой справа и плохой слева, что противоречит построению.

Добавлено спустя 16 минут 26 секунд:

ewert писал(а):

Продолжая этот процесс, получим строго сужающуюся последовательность интервалов $\{\Delta_i\}$, ну а уж она-то и впрямь имеет непустое пересечение.

а не могли бы пояснить этот момент? например последовательность $(0,\frac{1}{n}), n \to \infty$ имеет пустое пересечение.

[ewert]

в этом-то и пафос. Естественно, проблемы с непустотой возникают именно тогда, когда все вложенные интервалы имеют общий конец. Приведённая выше конструкция этот случай исключает, т.к. на каждом шаге выбирается некий строго внутренний интервал.

[id]

В том же Дьяченко это оформлено в виде задачи:
Пусть $(M,\rho)$ - полное метрическое пространство, $B_{r_1}(x_1)\supset B_{r_2}(x_2) \supset B_{r_3}(x_3) \supset ...$ - последовательность вложенных непустых шаров, $r_n \to 0, \ \forall n > 0 \ B_{r_n}(x_n) \supset \overline{B}_{r_{n+1}}(x_{n+1})$.
Тогда пересечение системы состоит из одной точки.