Кусок торта

[Юстас]

У Маши и Саши есть плоский замкнутый выпуклый торт со 100 гр изюма. Изюминки - одинаковые маленькие шарики, или точки(их может быть хоть сколько, но конечно). Маша выбирает точку торта, Саша делает через нее разрез и берет любую из двух частей(будем считать, что линия разреза достается Маше). Доказать, что Маша всегда может получить не менее 33 грамм изюма(в $n$- мерном торте Маша может получить хотя бы $\frac {100}{n+1}$ грамм изюма).

[TOTAL]

Для любой размерности Маша возьмет кусок, в котором изюма больше, и получит не менее 50 гр изюма.

[xaxa3217]

У задачи условие немного странное. Зачем вообще нужен торт, зачем уточнять его замкнутость и выпуклость? У изюминки, как точечной массы, фиксированный вес, а значит их конечное число? Тогда условие можно переформулировать на нахождение гарантированного кол-ва изюминок.

красные точки это изюминки, их всего 10 штук и между ними на самом деле есть какое-то расстояние. Разве существует точка, любой разрез которой гарантирует Маше 4 (округляем $\frac{10}{3}$) изюминки?
--
вообще примерно идея док-ва у меня была такая - по индукции показать, что существуют такие $k$ из данных $k+n+1$ изюминок-точек, такие что точка разреза гарантирующая $\frac{k}{n+1}$ изюминок лежит внутри $n$ мерного тетраэдра, образованного оставшимися $n+1$ точками. Если лежит, тогда любой разрез гарантирует $\frac{k}{n+1}+1=\frac{k+n+1}{n+1}$ изюминку.

[Юстас]

TOTAL: Маше достается остаток, Саша берет, естественно, большую часть.
На самом деле, проще даже считать, что изюм распределен по торту с некоторой плотностью $\rho(\cdot)$ и доказать оценку $\frac{100}{n+1} -\epsilon$, но для "точечных" изюминок тоже можно решить - при этом, как я писал, (одинаковых) изюминок может быть любое конечное число.
ХАХА3217: по-моему, в Вашем примере в качестве точки Маше надо взять изюминку, ближайшую к верхней вершине чёрного треугольника.

[neo66]

Эта задача навевает интересные вариации.
Например: торт - это выпуклая фигура на плоскости. Требуется выяснить, какую минимальную площадь может получить Маша. Автор утверждает, что $\frac{1}{3}$. Кстати эта оценка неулучшаема?

Если торт - центрально симметричная фигура, то Маша гарантированно получает $\frac{1}{2}$ торта.

Если торт - треугольник, то Маша гарантированно получает $\frac{4}{9}$ торта, если выберет точку пересечения медиан. И эта точка оптимальна.

И ничего лучше пока не придумал.

[Юстас]

Как это $\frac 4 9$? А разве не $\frac 1 3$, если весь изюм скоплен в вершинах? Я же не говорил, что он равномерно распределен по торту.
На самом деле, я не знаю элементарного решения, не использующего теоремы выпуклого анализа. Говорят, что теоремы Хелли должно быть достаточно, но я умею только, что называется, "из пушки по воробьям".
Из теоремы Хелли получается только $\frac{100}{2(n+1)}$ - в 2 раза хуже.

[TOTAL]

Юстас писал(а):

TOTAL: Маше достается остаток, Саша берет, естественно, большую часть.

Чтобы взять большую часть, Саша должен знать, в какой части изюма больше, должен видеть насквозь. В условии этого не сказано. В условии также не сказано, что разрезы прямолинейные.

Непрерывная версия задачи решается одинаково для любого числа измерений.

Задача.
На уроке чистописания Маша-замараша взяла прямоугольный лист бумаги и поставила на нём несколько клякс общей площадью $1.$ Доказать, что на листе найдется точка такая, что с каждой стороны любой прямой, проходящей через эту точку, общая площадь клякс не меньше $1/3.$

[Юстас]

Ну хорошо, оставим изюму хотя бы дискретный случай

[neo66]

Юстас писал(а):

Как это $\frac 4 9$? А разве не $\frac 1 3$, если весь изюм скоплен в вершинах?

Я говорил о непрерывном случае, когда целью игры является получение максимального куска торта.

TOTAL: Можно ли улучшить оценку $\frac 1 3$?

[Юстас]

Возьмите треугольник с тремя шарами в вершинах, внутри которых равномерное распределение - будет 1/3.

[neo66]

А если кляксы - выпуклое множество?

[juna]

Правильно ли я понимаю дискретный случай?
На плоскости разбросаны $n$ точек. Доказать, что на плоскости всегда можно найти некоторую точку (возможно не совпадающую с разбросанными), что любая прямая проведенная через эту точку разделит множество разбросанных точек так, что с одной стороны будет не менее $\frac{n}{3}$ разбросанных точек.
Тогда не понятно требование выпуклости торта.

[Юстас]

Правильно, с той оговоркой, что точки на линии разреза приписываются к меньшей части.

[juna]

Тогда скорее будет справедливо следующее:
для четных $n$ можно разделить не менее чем на $\frac{n}{2}$ точек
для нечетных $n$ можно разделить не менее чем на $\frac{n}{3}$ точек

Например, если это справедливо для $n\equiv 0 \mod 2$ точек, то для $n+1$ точек выбираем ту же самую точку, которую Маша выбрала для $n$ точек. В итоге имеем не менее $\frac{n}{3}$ точек.
Таким образом, следует доказывать что для любого четного $n$ можно найти точку, любая прямая через которую разделит множество разбросанных точек пополам.
Тогда для нечетных $n$ оценку можно поднять до не менее $\frac{n-1}{2}$.

[TOTAL]

juna писал(а):

Тогда скорее будет справедливо следующее:
для четных $n$ можно разделить не менее чем на $\frac{n}{2}$ точек

$A1, A8, H1$ - в каждую из этих трёх клеток шахматной доски бросили по $10$ точек.
Где точка, гарантирующая Маше больше трети изюма?