Сумма иррациональных чисел

[AndreyXYZ]

Верно ли, что

$$\forall k \in \mathbb{N}~ \forall p_1,p_2,\ldots,p_k \in \mathbb{I}=\mathbb{R}/\mathbb{Q}$$

, таких что $p_i>0,~i=\overline{1,k}$,
выполняется

$$\sum_{i=1}^{k}p_i \in \mathbb{I}$$

?

Или, другими словами, всегда ли сумма положительных иррациональных чисел --- иррациональное число?

[PAV]

$p_1=\sqrt{2}$, $p_2=2-\sqrt{2}$

[AndreyXYZ]

Сам понял, что сморозил глупость.
Рассмотрим частный случай.
Пусть $n_1,n_2,\ldots,n_k \in \mathbb{N}$. Верно ли, что

$$\sum_{i=1}^{k}\sqrt{n_i}\in \mathbb{I}$$

?

[Cave]

$k = 1, n_1 = 1$.

Если хотя бы одно число $n_i$ не является точным квадратом, то верно.

[vlad239]

AndreyXYZ писал(а):

Сам понял, что сморозил глупость.
Рассмотрим частный случай.
Пусть $n_1,n_2,\ldots,n_k \in \mathbb{N}$. Верно ли, что

$$\sum_{i=1}^{k}\sqrt{n_i}\in \mathbb{I}$$

?

Если среди них есть неквадраты - верно.

Более того, если брать числа, свободные от квадратов, то корни из них будут линейно независимы над $\mathbb{Q}$ (то есть коэффициенты можно будет писать любые иррациональные, не обязательно единицы).

Влад.

[mkot]

vlad239 писал(а):

Более того, если брать числа, свободные от квадратов, то корни из них будут линейно независимы над $\mathbb{Q}$

Как это доказать или где найти доказательство? Вроде как очевидно, но доказать не могу (

[gris]

Доказать от противного.
Вначале доказать, что корень из целого числа, не являющегося квадратом, будет иррациональным числом.
Потом линейную комбинацию возводим в квадрат. Надо только показать, что в результате не исчезнут все корни. Это вот как раз при условии "свободные от квадратов". И так повторять, пока не останется всего один корень.

[AndreyXYZ]

gris в сообщении #179874 писал(а):

Потом линейную комбинацию возводим в квадрат. Надо только показать, что в результате не исчезнут все корни.

А зачем её возводить в квадрат? Если даже исчезнут, это не будет означать, что она была рациональным числом.

[mkot]

gris писал(а):

Потом линейную комбинацию возводим в квадрат. Надо только показать, что в результате не исчезнут все корни. Это вот как раз при условии "свободные от квадратов". И так повторять, пока не останется всего один корень.

Чесно говоря, вот это не понял. Каким образом останется один корень?
Сколько я $a_1\sqrt2+a_2\sqrt3+a_3\sqrt5$ в квадрат не возводил всё равно три корня остаются.

[gris]

Прошу прощения. Не саму линейную комбинацию, а её равенство нулю, конечно. Тогда корни по одному переносятся в левую часть и после очередного возведения в квадрат исчезают.

[PAV]

gris в сообщении #179894 писал(а):

Тогда корни по одному переносятся в левую часть и после очередного возведения в квадрат исчезают.

Но если в другой части количество корней больше трех, то при возведении в квадрат их число увеличится.

[gris]

Допустим существуют ненулевые рациональные коэффициеты $a_1 a_2 a_3$, что
$a_1\sqrt2+a_2\sqrt3+a_3\sqrt5=0$
$(a_1\sqrt2)^2=(a_2\sqrt3+a_3\sqrt5)^2$
$2a_1^2= 3a_2^2+5a_3^2+2a_2a_3\sqrt 6$
то есть $\sqrt6$ равняется рациональному числу.

Да, когда корней больше трёх, то они активно размножаются. Увы.

[mkot]

gris писал(а):

Допустим существуют ненулевые рациональные коэффициеты $a_1 a_2 a_3, что
$a_1\sqrt2+a_2\sqrt3+a_3\sqrt5=0$
$(a_1\sqrt2)^2=(a_2\sqrt3+a_3\sqrt5)^2$
$2a_1^2= 3a_2^2+5a_3^2+2a_2a_3\sqrt 6$
то есть $\sqrt6$ равняется рациональному числу.

А если корней побольше?

[MaximKat]

vlad239

vlad239 в сообщении #179814 писал(а):

Более того, если брать числа, свободные от квадратов, то корни из них будут линейно независимы над (то есть коэффициенты можно будет писать любые иррациональные, не обязательно единицы).

"любые рациональные"?

[Taras]

Посмотрите один из первых выпусков Кванта- там есть целая статья об этой задаче.