Матрицы

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak писал(а):

Возможен другой вариант решения задачи: привести общие методы построения пар ортогональных латинских квадратов всех чётных порядков, не являющихся степенью числа 2, начиная с 12.

По-прежнему работаю над задачей в гордом одиночестве
Кое-что получилось. Удалось найти методы составления пар ортогональных латинских квадратов порядков $n = 6k, k>1$ и $n = 4 (mod 6)$. Осталась одна группа чётных порядков - $n = 2 (mod 6)$. В этой группе исключаются порядки, являющиеся степенью числа 2. Первый порядок, который надо рассматривать в этой группе, равен 14, следующий равен 20. И вот построение пар ортогональных латинских квадратов данных порядков никак мне не поддаётся (хотя порядок 20 одолела другим способом - методом составных квадратов, а порядок 14 под этот метод не подходит). Нашла две статьи, автор D. T. Todorov. Одна из статей посвящена построению трёх взаимно ортогональных латинских квадратов 14-го порядка, а вторая - 20-го порядка. Статьи на английском языке. Первую статью мне любезно согласилась перевести пользователь shwedka. Перевод она сделала очень качественный. Но всё равно я не поняла, каким образом из построенных автором ортогональных массивов составить сами ортогональные латинские квадраты 14-го порядка. Вчера написала письмо автору статьи, но пока ответа нет.
Итак, исчерпала все свои возможности. Может быть, кто-нибудь поможет в этом разобраться? Это наверняка совсем несложно, надо просто понять, как перейти от ортогональных массивов к самим квадратам.
Статья Тодорова "Three Mutually Orthogonal Latin Squares of Order 14" находится здесь:
http://www.natalimak1.narod.ru/mk/mols14.pdf
Вопрос этот уже обсуждался в теме "Магические квадраты" (это я к тому, что боюсь опять получить предупреждение за дублирование вопроса ). Но там тоже ответ никто не дал. Пользователь Aleks-Sid написал, что статью посмотрел и тоже ничего не понял. Получается, что не я одна не поняла, что автор написал в своей статье. Есть такие, кто поймёт? Не могу бросить вопрос на полпути, так и не разобравшись. Помогите разобраться.
Ещё shwedka указала мне на то, что совершенно аналогично строит ортгональные латинские квадраты 14-го порядка Холл в своей книге "Комбинаторика". Я помотрела, действительно аналогия полная. Но и у Холла непонятно. Понятно только то, что тоже строится ортогональный массив, как и у Тодорова.

[Nataly-Mak]

Ах, похоже, круто накрутил господин Тодоров!
Никто не может понять, что же он написал. Или просто никто и не пытался понять?
Ответьте же хоть что-нибудь! Напишите, что в статье всё элементарно, и вы, Nataly-Mak, тупая тётка
Мне говорили много раз, что к моим темам просто ни у кого нет интереса. Угораздило же меня выбрать такие темы для исследований! Какие-то никому не нужные квадраты.
Хотя вот вчера на форум моего сайта пришло сообщение, которое содержало такой вопрос: что вы знаете о трёх взаимно ортогональных латинских квадратах 10-го порядка. Я ответила: знаю только то, что ещё не удалось найти трёх таких квадратов. Так написано в статье, датированной 2008 г. Хорошая задача! Решается со времён Эйлера и никак не могут найти решения. Вот в 1985 году Тодоров нашёл три взаимно ортогональных латинских квадрата 14-го порядка. Да никак не могу эти квадраты из его статьи извлечь!
Может быть, хоть кому-нибудь интересно – моя последняя статья о группах взаимно ортогональных латинских квадратов: http://www.natalimak1.narod.ru/grolk.htm
В этой статье белые пятна: 1) группа из 5 MOLS 12-го порядка; 2) группа из 3 MOLS 14-го порядка; 3) группа из 4 MOLS 15-го порядка; 4) группа из 3 MOLS 18-порядка; 5) группа из 4 MOLS 20-го порядка (MOLS – Mutually Orthogonal Latin squares). При этом для порядков 12, 15, 18, 20 мне удалось составить пары ОЛК.
Это для порядков от 3 до 20. Если кто-то может помочь в ликвидации белых пятен, буду очень признательна.
Прошу покорно извинить за назойливость. Но ведь хочется решить задачу.

[Nataly-Mak]

О том, что такое квази-разностная матрица, можно узнать в цикле статей “Подробно о квази-разностной матрице” (цикл начинается с этой страницы: http://www.natalimak1.narod.ru/quazi.htm , продолжаю над ним работать).
Хочу предложить интересную задачу, которая ещё никем не решена, но и не доказано, по-моему, что задача не имеет решения. Квази-разностные матрицы используются для построения групп MOLS (взаимно ортогональных латинских квадратов). Как известно, группа MOLS 10 порядка на сегодня построена только из двух квадратов.
Я рассматриваю квази-разностные матрицы такого вида:

a 0 0 0 0 … 0 0
0 a 0 1 2 … n-1 n-2
x x x x x … x x
y y y y y … y y

Если такая матрица состоит из четырёх строк, по ней строится пара ортогональных латинских квадратов, если матрица состоит из пяти строк, то по ней строится группа MOLS из трёх латинских квадратов и т. д. Строки квази-разностной матрицы должны быть совместимы по известному критерию (критерий описан в указанных статьях). Составила программу для порядка 8 и получила много квази-разностных матриц из 4-х строк. Вот, например, одна из них:

a 0 0 0 0 0 0 0 0
0 a 0 1 2 3 4 5 6
6 6 a 4 2 1 5 0 3
6 5 3 1 0 4 6 2 a

Теперь возникает вопрос: нельзя ли добавить к этой матрице пятую строку и получить квази-разностную матрицу для группы MOLS из трёх латинских квадратов? Понятно, что надо составить новую программу, аналогичную тем, которые я уже составила (что я и сделаю сейчас). Но дело в том, что программу надо писать не только для одного данного конкретного варианта, программу надо писать на добавление всех строк, начиная с третьей, а такая программа, понятно, будет выполняться очень долго даже для порядка 8, не говоря уже о следующих порядках.
Нужна какая-то новая идея решения задачи не в лоб.
Для порядка 10, например, тоже известна аналогичная квази-разностная матрица для пары ортогональных латинских квадратов. Вот она:

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 a 5 8 3 2 7 0 6 4
2 1 5 8 3 2 7 0 6 4 a

Это пара ортогональных латинских квадратов, автором которой является Лямзин.
Можно написать программу добавления к этой матрице пятой строки, но я со своим допотопным Бейсиком такую программу не смогу выполнить. А тем более программу для добавления строк, начиная с третьей, в случае порядка 10 и больших порядков.
Есть идеи?
Смотрите дополнительно тему “Магические квадраты”.

Добавлено спустя 12 минут 29 секунд:

Забыла сказать, что группа MOLS 14-го порядка Тодорова из трёх латинских квадратов, о которой я писала в предыдущих постах, имеет точно такую же квази-разностную матрицу. Вот она:

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 0 a 2 10 12 7 9 5 4 1 11 8 3 6
0 1 2 a 5 9 3 12 7 11 0 4 6 8 10
0 3 12 9 6 a 2 7 11 1 5 10 0 4 8

И для группы MOLS 20-го порядка Тодорова, состоящей из четырёх латинских квадратов, аналогичная квази-разностная матрица только уже из шести строк.
Кстати, Тодоров в своей статье о группе MOLS 14-го порядка привёл три варианта квази-разностной матрицы, полученных с помощью компьютера.