Почему повороты в 3D не коммутативны?

[STilda]

Вопрос собственно сформулирован в названии темы. Интересует причина. Почему вдруг так получается? На плоскости повороты коммутативны (5 градусов против часовой + 15 против часовой + 7 по часовой = 7 по часовой + 15 против часовой + 5 против часовой). Можно ли выбрать систему векторов в пространстве (не обязательно линейно независимую) так, чтобы повороты вокруг них стали коммутативными?
================================
Есть еще связь между поворотами и кватернионами. Не представляю, как до этой связи можно было додуматься? Какая логика, как выявить такую зависимость? Есть какие-то наблюдения или объяснения "на пальцах"?

[Brukvalub]

STilda в сообщении #178978 писал(а):

Интересует причина.

Так распорядилась природа. Никакой особой причины нет. Просто больше степеней свободы. Можно еще так объяснить: поворот -
это линейный оператор специального вида, который задается матрицей. Все такие матрицы поворотов образуют группу. Вот на плоскости эта группа оказалась коммутативной, а в пространстве - уже нет. Правда такое объяснение ничем не лучше исходного: Так распорядилась природа.

STilda в сообщении #178978 писал(а):

Есть еще связь между поворотами и кватернионами. Не представляю, как до этой связи можно было додуматься?

Кватернионы тоже задаются специальными матрицами. Вот матричная аналогия и позволяет увидеть связь.

[worm2]

Ну, можно на пальцах так попробовать объяснить: группа поворотов, вообще говоря, довольно сложна и некоммутативна. Но в случае $n=2$ она "вырождается", становится слишком простой, и вот в этом "вырожденном" случае уже не находится места некоммутативности

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

Вот аналогия: группы перестановок $S_n$, вообще говоря, некоммутативны. Но случаи $n=1$, $n=2$ оказываются коммутативными.

[STilda]

А нельзя ли не коммутативную группу как-то расширить до коммутативной? Взять одинаковые две не коммутативные группы построить их прямую сумму например, или объединить как еще. А итоговая получится коммутативная за счет компенсации не коммуникативностей друг другом. Или это бред?

[Профессор Снэйп]

STilda писал(а):

А нельзя ли не коммутативную группу как-то расширить до коммутативной? Взять одинаковые две не коммутативные группы построить их прямую сумму например, или объединить как еще. А итоговая получится коммутативная за счет компенсации не коммуникативностей друг другом. Или это бред?

Очевидный бред!!!

Как это Вы себе представляете: в подгруппе $xy \neq yx$, а в группе $xy=yx$. Расширение --- оно на то и расширение, что значение операции не меняется там, где оно уже определено.

Добавлено спустя 3 минуты 8 секунд:

А почему бывают некоммутативные операции --- это, конечно, мегавопрос, об который можно сломать мозги и отбить задницу. Почему если сначала пододвинуть стул, а потом сесть, то получится не то же самое, что в случае, если сначала сесть, а потом пододвинуть стул?

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #179386 писал(а):

А почему бывают некоммутативные операции --- это, конечно, мегавопрос, об который можно сломать мозги и отбить задницу. Почему если сначала пододвинуть стул, а потом сесть, то получится не то же самое, что в случае, если сначала сесть, а потом пододвинуть стул?

Да легко объясню! Сравните результаты: сначала обнажиться, затем опорожниться, или наоборот! Некоммутативность проявляется весомо и выпукло!

[STilda]

В расширенной группе будет операция другая - $+$. Допустим она выражается через операции объединенных не коммутативных групп $*_1, *_2$. Например как суперпозиция их. А может еще третья операция добавляется $+_0$, и уже используя три операции $*_1, *_2,+_0$ введем операцию $+$. Под расширением я понимаю все эти возможности.

[Brukvalub]

STilda в сообщении #179423 писал(а):

В расширенной группе будет операция другая - $+$. Допустим она выражается через операции объединенных не коммутативных групп $*_1, *_2$. Например как суперпозиция их. А может еще третья операция добавляется $+_0$, и уже используя три операции $*_1, *_2,+_0$ введем операцию $+$. Под расширением я понимаю все эти возможности.

Вот расширите хоть одну некоммутативную группу до коммутативной - тогда и приходите, а нести абстрактный бред - большого ума нэ трэба!

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Сравните результаты: сначала обнажиться, затем опорожниться, или наоборот! Некоммутативность проявляется весомо и выпукло!

Фу! Пример со стулом куда эстетичней.

[Sherpa]

а тензоры поворота не дадут вам ответ на этот вопрос?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #179434 писал(а):

Фу! Пример со стулом куда эстетичней.

Но зато и куда болезненнее.

STilda в сообщении #179423 писал(а):

В расширенной группе будет операция другая -

Если Вы собираетесь заменять операцию -- то заменять можно что угодно на что угодно. Но если дополнять -- то от некоммутативности хотя бы двух элементов никуда и не денешься.

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #179434 писал(а):

Фу! Пример со стулом куда эстетичней.

А какая разница? Там стул и здесь стул.

[BVR]

Существенно оговорить - поворот вокруг чего. Если вокруг фиксированной оси, то они в пространстве коммутируют.

Добавлено спустя 3 минуты 30 секунд:

Вращение вокруг точки разлагается в композицию вращений вокруг осей (не более трёх кажется), проходящих через эту точку.

[STilda]

Для тех кто считает себя умным и офтопит, а так же употребляет слово "бред" вопрос переформулирую. Если отвечать по сути нечего, прошу молчать.
Есть трехмерное тело, которое можно щупать, видеть, тоесть то, что в реальности. Его пространственную форму мы моделируем множеством трехмерных векторов из действительных чисел. Еще и систему координат выдумываем. Таким образом мы загоняем реальный объект в мир математики. Осознайте что это модель. Трехмерный вектор это некая конструкция математики. Есть законы, по которым она взаимодействует с другими конструкциями, например матрицами поворота вокруг осей. Было замечено соответствие, изоморфизм, между трехмерными векторами, матрицами поворота и реальными поворотами. Стали такую мат. модель считать пригодной для описания события "поворот тела".
Вопрос: существует ли иная модель трехмерного тела (если нужно, иная система аксиом), такая, чтобы операция поворота реального тела в этой модели выглядело как коммутативная операция.

[ewert]

STilda в сообщении #180192 писал(а):

Вопрос: существует ли иная модель трехмерного тела (если нужно, иная система аксиом), такая, чтобы операция поворота реального тела в этой модели выглядело как коммутативная операция.

Боюсь, что не существует. Вы же сами сказали там чего-то про "изоморфизм". Пусть и с каким-то странным набором изоморфируемых объектов. Но не важно: если при хоть одной интерпретации перестановка операций меняет результат, то с какой стати он не будет меняться при любой другой интерпретации? Вы ведь сами подчёркивали, что говорите о неких реальных объектах и операциях.

------------------------------------------------------------------------------
да, и ещё кстати. Вы совершенно напрасно столь презрительно отнеслись к физико-физиологическим примерам предыдущих ораторов. Они ведь как раз прекрасно и иллюстрируют, что в этой реальной жизни на коммутативность особо так расчитывать и не приходится, некоммутативность -- гораздо естественнее.