Сколько шестизначных чисел можно составить из 3-х разных циф

[KRAM]

Здравствуйте.Как то на олимпиаде попалась задача:сколько шестизначных чисел можно составить из 3 разных цифр[от 0 до 9].0 первым быть не может.То есть такие варианты:110221,112233,121220(то есть 3 разных цифры).Помогите решить.

[Профессор Снэйп]

Хм!

1) Пусть даны 3 разных цифры, среди которых нет нуля. Тогда сколько шестизначных чисел можно составить именно из этих трёх цифр?

2) То же самое с нулём.

Что-то не могу с ходу сообразить. Надо подумать.

[vlad239]

А что тут думать?

Сколько 6-значных чисел можно составить из конкретных цифр (скажем 1,2,3)? Понятно что $3^6$. Если затесался ноль, то $2\cdot 3^5$. Теперь выбираем всеми способами три цифры.

При этом по несколько раз посчитались числа, состоящие только из двух (и только из одной) разных цифр. Ну и формула включения-исключения накручивается.

Влад.

[Профессор Снэйп]

Подумав, прихожу к выводу, что вроде не очень сложно.

1) Всего существует $3^6$ вариантов написания числа, в котором участвуют данные три цифры (не обязательно все). Выбрав 2 цифры из трёх, имеем $2^6$ вариантов написания числа, в котором участвуют только эти $2$ цифры. Выбрать две цифры из трёх можно тремя способами. Таким образом, имеем число $3^6 - 3 \cdot 2^6$. Но это не точный ответ, поскольку мы по нескольку раз посчитали варианты, при которых в записи числа участвует только одна цифра. Зафиксировав цифру, видим, что существует ровно две выборки по две цифры из трёх, в которых эта цифра участвует. Так что каждое число, состоящее из одной цифры, было посчитано два раза. И точный ответ на вопрос первого пункта будет равен числу $3^6 - 3 \cdot 2^6 + 3 = 540$.

2) Во втором пункте ответ получить чуть сложнее, но можно, действуя теми же методами. Так как в данные три цифры входит ноль и его нельзя ставить на первое место, то всего шестизначных чисел, в которых участвуют данные три цифры, будет $2 \cdot 3^5$. Из них исключим числа, в которых не участвует одна из цифр. Если это цифра $0$, то таких чисел будет $2^6$. Если же эта цифра не $0$, то их будет $2^5$. Цифру, не равную нулю, можно выбрать двумя способами. И ещё остаётся два дважды посчитанных варианта, при которых число состоит из одной цифры. Таким образом, ответом на второй пункт будет число $2 \cdot 3^5 - 2^6 - 2 \cdot 2^5 + 2 = 360$.

Ну теперь всё очевидно. Ответом к задаче будет число

$$ C^3_9 \cdot 540 + C^2_9 \cdot 360 =84 \cdot 540 + 36 \cdot 360 = 45360 + 12960 = 58320 $$

Надеюсь, нигде не ошибся.

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

vlad239 писал(а):

А что тут думать?

Да я сам уже давно догадался И даже всё посчитал

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

И точный ответ на вопрос первого пункта будет равен числу $3^6 - 3 \cdot 2^6 + 3 = 540$.

$$C_{10}^3\big(3^6-(3\cdot2^6-3)\big)\;.$$

[--mS--]

KRAM писал(а):

Здравствуйте.Как то на олимпиаде попалась задача:сколько шестизначных чисел можно составить из 3 разных цифр[от 0 до 9].0 первым быть не может.То есть такие варианты:110221,112233,121220(то есть 3 разных цифры).Помогите решить.

Мои поздравления! На третьем по счёту форуме Вам наконец удалось найти тех, кто готов квалифицированно решить задачу за Вас и без Вашего участия. Сожалею, что не могу поздравить авторов решения. Ещё плюс один студент, который мог бы научиться комбинаторике, но не станет этого делать за ненадобностью.

Добавлено спустя 2 минуты 2 секунды:

ewert писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

И точный ответ на вопрос первого пункта будет равен числу $3^6 - 3 \cdot 2^6 + 3 = 540$.

$$C_{10}^3\big(3^6-(3\cdot2^6-3)\big)\;.$$

$$C_{9}^3\big(3^6-(3\cdot2^6-3)\big)\;.$$

[ewert]

--mS-- писал(а):

ewert писал(а):

$$C_{10}^3\big(3^6-(3\cdot2^6-3)\big)\;.$$

$$C_{9}^3\big(3^6-(3\cdot2^6-3)\big)\;.$$

Нет. Речь шла о варианте, когда начальный нуль разрешается. Если же он запрещён (именно начальный!), то задача существенно усложняется.

[--mS--]

ewert писал(а):

Нет. Речь шла о варианте, когда начальный нуль разрешается. Если же он запрещён (именно начальный!), то задача существенно усложняется.

Он запрещён в условии, а первый пункт, о котором говорит Профессор Снэйп, это когда среди трёх выбранных цифр нуля нет:

Профессор Снэйп писал(а):

Хм!

1) Пусть даны 3 разных цифры, среди которых нет нуля. Тогда сколько шестизначных чисел можно составить именно из этих трёх цифр?

[ewert]

Ну, я-то реагировал не на предыдущий пост, а непосредственно на тот, который комментировал. А в нём номера переставлены, и начальный ноль запрещается именно во втором пункте -- сравните хотя бы ответы (впрочем, оба неверные).

[--mS--]

ewert писал(а):

Ну, я-то реагировал не на предыдущий пост, а непосредственно на тот, который комментировал. А в нём номера переставлены, и начальный ноль запрещается именно во втором пункте -- сравните хотя бы ответы (впрочем, оба неверные).

Именно в этом первом пункте и рассмотрена ситуация, когда три цифры не содержат нуля. Т.е. взяты из девяти. Начальный ноль запрещается и в первом, и во втором пунктах, просто в первом он возникать не может. Ответ как раз правильный.

[ewert]

--mS-- в сообщении #179038 писал(а):

Именно в этом первом пункте и рассмотрена ситуация, когда три цифры не содержат нуля. Т.е. взяты из девяти. Начальный ноль запрещается и в первом, и во втором пунктах, просто в первом он возникать не может.

Угу, понял. Просто в первом пункте меньше комбинаций -- поэтому ответ, естественно, больше.

А правильный ответ таков:

$$C_{10}^3\big(3^6-(3\cdot2^6-3)\big)-C_{9}^2\big(3^5-2\cdot2^5+1\big)=64800-6480=58320\;.$$

Кстати, действительно правильный -- оба слагаемых и вся разность перепроверены тупым перебором. А если немного подумать, то ещё лучше такой вариант перехода к окончательному результату:

$${9\over10}\cdot C_{10}^3\big(3^6-(3\cdot2^6-3)\big)=58320\;.$$

Так что я погорячился, сказав, будто запрет начального нуля заметно усложняет задачу. Лишь чуть-чуть усложняет. Но -- если подумать.