Кладоискатель

[cray0000]

Задача была на олимпиаде по высшей математике.
------------------------

Пират получил инструкцию по поиску клада на одном из островов в Тихом океане:

1. На Острове Смерти есть скала (точка А).
2. От скалы строго на восток надо пройти 20 шагов и вбить в землю кол (точка В).
3. Пройти ещё 10 шагов на восток и вбить кол (точка С).
4. На острове растёт дуб (точка Д). На этом дубе есть дупло, которое находится на высоте h шагов.
5. На отрезке ВД отмерить h шагов (отмерять от вершины В) и вбить кол (точка E).
6. Прямые СЕ и АД пересекаются в точке Ф.
7. Прямые АЕ и СД пересекаются в точке Ж.
8. Прямые АВ и ФЖ пересекаются в точке К -- это и есть Клад!

Пират приплыл на остров, а дуба нет! Дуб сгорел. Как ему отыскать клад?



------------------------
Ответ я нашёл, но использовал для этого частный случай придуманный мною, и до общего решения я так и не додумался.

Ход моих рассуждений:
1. Т.к. дуба нет, то пункт 4 отпадает -- мы не знаем координаты точки Д и величину h.
2. Значит наверняка от этих двух параметров (координат Д и h) расположение точки K никак не зависит. Убедится в этом можно, зафиксировав точку А на рисунке и выполнив 2 раза инструкцию (выбирая разные координаты точки Д и/или величины h) -- точка К в результате будет одной и той же.
3. Я зацепки для доказательства не нашёл, но ответ, как уже было написано выше, узнал -- составил частный случай (выбрал свою точку Д и величину h) и дальше по пересечениям прямых нашёл точку K ( её координаты оказались (60;0) при A(0;0), т.е. клад зарыт в 60-ти шагах на восток от скалы )

Как решить эту задачу в общем случае?

[neo66]

Задача эта по вполне элементарной математике. Идея такая: представим, что Ваш рисунок вырезан из бумаги. Поднимем его за вершину Д над плоскостью рисунка, оставив прямую АВ в этой плоскости. Спроектируем весь наш рисунок на исходную плоскость из точки, находящейся над этой плоскостью на той же высоте, что и вершина Д. В результате получим, что проекции прямых АД, ВД и СД параллельны. Далее остается геометрия примерно 9-го класса средней школы.

[cray0000]

neo66, спасибо, очень интересное преобразование. Сейчас попробую перерешать.

[VAL]

neo66 в сообщении #178173 писал(а):

Задача эта по вполне элементарной математике.

Осмелюсь заметить, что эта задачка все же не по элементарной, а по проективной геометрии. Это, конечно же, не исключает возможности решить ее элементарными методами. Но при этом потребуются хитрые шаги (один из которых был Вами предложен).

С позиций же проективной геометрии задачка тривиальна.
На основании свойств полного четырехугольника (см. здесь) заключаем, что точка $K$ является четвертой гармонической к тройке $A,C,B$.
А четвертая гармоническая строится (находится) тривиально многими спобобами.

[neo66]

VAL в сообщении #178312 писал(а):

Осмелюсь заметить, что эта задачка все же не по элементарной, а по проективной геометрии.

Конечно же Вы правы. Но, не будем бить из пушки по воробьям.

Кстати, еще одна похожая задачка: дан отрезок и прямая, параллельная прямой, на которой он лежит. Требуется разделить его пополам при помощи одной линейки.

[ewert]

А это уж точно по школьной. Просто вписать отрезок в любой треугольник с основанием на прямой и нарисовать диагонали получившейся трапеции.