Монотонность убывания ошибки в численном решении урчп

[zedr0n]

У меня такое ощущение, что задача общеизвестная и решение давно существует, но что-то в голову никак не приходит формальное доказательство.

Имеется решение урчп по явной схеме(вообще Кранк-Николсон, но с явной схемой понятнее вроде), М точек по времени, N по координате

$u_t + a^2 u_{xx} + ru = 0$

Если $L_h$ - оператор явной схемы, а $L$ - дифференциальный оператор уравнения, то если $u$ - решение урчп, то $Lu=0$ а $U_{ij}$ - численное решение, т.е. $L_h U = 0$ как матричное уравнение.

Тогда если ввести ошибку конечных разностей на решении: $T = L_h u$, где $u$ взято в точках сетки, а $e = u - U$ - реальная ошибка, то

$T = L_h u = L_h u - L_h U = L_h e$
$e = L_h^{-1} T$

В явном виде $T$:
$T = u_{xxxx} \frac{\Delta x^2}{12} - \frac{\Delta t}{2} u_{tt} + O(\Delta t^2 + \Delta x^4)$

Собственно, дальше вопрос, правильно ли следующее рассуждение и как формально доказать:

1) Если $T$ во всех точках сетки одного знака, то $e$ тоже одного знака(насколько я так понимаю, если доказать, что $L_h$ - М-матрица, то это верно)
2) Норма $||e|| = \max |e_{ij}|$ убывает при увеличении $\Delta x$? И как это строго доказать? Припоминается, что используется где-то жорданова форма вроде ;)

Если оба утверждения верны, то ошибка $e$ убывает монотонно при увеличении количества точек по x, что я и наблюдаю в самом решении, но хочу обосновать теоретически.

[Gafield]

Там точно такой знак у второй производной по $x$? Задачи для обратного уравнения теплопроводности некорректны. Так что, может, ошибка и не будет уменьшаться

[zedr0n]

Вроде все-таки такой, на практике я вижу, что ошибка уменьшается монотонно, но теперь пытаюсь понять почему

[ewert]

Конечно не такой. Просто Ваше исходное уравнение не соответствуют Вашей же практике.

А что имеется -- я вот понять не в состоянии. У Вас полнейшая путаница в обозначениях. Наиболее яркий пример: что там ещё за четвёртая производная?
-------------------------------------------
А, нет, врубился, это действительно напоминает правду, хотя и не правда.
Вы выписали только оценку точности аппроксимации, а на погрешность влияет ещё и оценка устойчивости. А если граничные условия не Дирихле, то даже и порядо погрешности может оказаться ниже.

Одно можно сказать. Если учащаются только узлы по координате, до для явной схемы погрешность в принципе не может монотонно убывать. Просто потомуЮ что рано или поздно нарушится условие устойчивости.

[zedr0n]

Шаг по времени достаточно мал и ошибка уменьшается монотонно, так что я подумал, что если не исследовать асимптотику точно, то можно устойчивостью пренебречь. Изначально был вообще Кранк-Николсон, так что там не было важно.

Может где-то можно прочитать, где исследуется поведение ошибки в зависимости от схемы/производных функции. То, что я пишу, вроде на правду похоже, но строгости нет, поэтому сомневаюсь

Хм,
\cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(t+ \Delta t,x) = \frac{u_{i-1}^{k+1} - 2u_i^{k+1} + u_{i+1}^{k+1}}{\Delta x^2} - \frac{\Delta x^2}{12}u^{(4)}(t+\Delta t,x) + O(\Delta x^4)

Вроде я ничего не напутал, так что ошибка как раз-таки зависит от 4ой производной

[ewert]

Нет, это правда, разве что буковка "О" чересчур большая. Только этого недостаточно (см. исправление выше).

[zedr0n]

Если же нельзя пренебречь оценкой устойчивости, то как ее учесть? Или от нее зависит как раз норма оператора L_h^{-1}?

[ewert]

Наоборот -- устойчивость определяется нормой этого оператора.

Ну смотрите. Пусть $\vec u_k$ -- узловые значения точного решения на $k$-том временном слое, $\vec v_k$ -- соответствующие значения разностного решения и $\vec r_k$ -- значения Вашей замечательной оценки погрешности аппроксимации, относящиеся к тому же слою, то имеем:

${\vec u_{k+1}-\vec u_{k}\over\tau}=L_h\vec u_{k}+\vec r_{k}\;,$

${\vec v_{k+1}-\vec v_{k}\over\tau}=L_h\vec v_{k}\;,$

откуда $\vec u_{k+1}-\vec v_{k+1}=(I+\tau L_h)(\vec u_{k}-\vec v_{k})+\tau\vec r_{k}\;,$

$\vec u_{n}-\vec v_{n}=\tau\sum_{k=1}^n(I+\tau L_h)^{n-k}\vec r_{k}\;$

(там индексы, кажется, на единичку сбиты, но это не важно). Ну и попробуй учти. Учитывая, что $(I+\tau L_h)^n\sim e^{tL_h}.$

Хотя, конечно, если Вы очень далеки от границ устойчивости, то оператор в показателе экспоненты очень мал -- может, и можно вытянуть что-то вроде монотонности...

[zedr0n]

Хм, но как-то же порядок сходимости оценивают? Для этого надо как-то норму оператора L_h^{-1} оценить? Если она достаточно мала, то мое утверждение верно вообще?

[Gafield]

Какая задача то хоть?

[zedr0n]

Да это вообще не задача =) Просто на практике есть численное решение(Кранк-Николсон) этого урчп для достаточно сложной функции, при увеличении колиества точек по x решение монотонно убывает. Вопрос, в чем причина?

Я посмотрел значения на слоях в одних и тех же точках, но когда количество точек различно(кратно увеличил просто), и вижу, что монотонное убываение есть на всех слоях.

Посмотрел также на графики решения(в (0,0)), как функции от количества точек, похоже на сходимость экспоненциальную.

Мое подозрение, что этот эффект просто вызван тем, что ошибка T всегда положительна, а также переводится с тем же знаком в ошибку e(нет осцилляций). Тогда если норма e убывает, то и решение монотонно убывает. Вот пытаюсь понять, правда ли это

[ewert]

zedr0n писал(а):

Хм, но как-то же порядок сходимости оценивают? Для этого надо как-то норму оператора L_h^{-1} оценить? Если она достаточно мала, то мое утверждение верно вообще?

Она не может быть мала, она -- порядка единицы. И об устойчивости задачи теплопроводности сама по себе эта норма ещё ничего не говорит, тут ведь ещё и время приплетено (скажем, неявная схема устойчива абсолютно, а для явной -- важна норма как раз не обратного, а прямого оператора). И к монотонности погрешностей это вообще отношения не имеет.

[zedr0n]

Ну если она ограничена, то
||e|| \le ||L_h^{-1}|| ||T|| \le ||L_h^{-1}|| \Delta x^2 \max u_{xxxx} + O(\Delta t+ \Delta x^4) \le C \Delta x^2 + O(\Delta t + \Delta x^4)

Тогда ошибка убывает(по крайней мере, по модулю)

[ewert]

Нет, это неверно. Для устойчивости ведь нужна ограниченности нормы обратного к аппроксимирующему оператору для всего исходного дифференциального оператора, а не только его координатной части.

[zedr0n]

Я похоже запутался, ведь есть безусловно устойчивые схемы, для Кранка-Николсона можно выписать то же самое, и будет тоже зависеть от производных, и все равно неверно будет, даже если уже известно, что устойчиво?