Метрика

[AlexNew]

Чем отличается метрика от криволинейной системы координат?

[Жесть]

AlexNew писал(а):

Чем отличается метрика от криволинейной системы координат?

Тем, что метрика - расстояние между бесконечно близкими точками, выраженное через дифференциалы координат в данной криволинейной СК.

[AlexNew]

неясно сформулирожал вопрос...

предположим в неизвестной нам системе координат задан способ построения скалярного произведения векторов.
Тоесть даны 9 чисел которые нужно использовать для постройки линейной комбинации с компонентами векторов.

Как узнать какя часть нашей данной матрицы определяется метриой, а какая криволинейностью системы координат?

[epros]

AlexNew писал(а):

Как узнать какя часть нашей данной матрицы определяется метриой, а какая криволинейностью системы координат?

"Данная матрица" определяет значения компонент даной метрики в данной системе координат.

[AlexNew]

это понятно, но как различать метрику и систему координат, если мы не знаем изначально где что.

Криволинейную систему координат определить непросто, например если мы на диске который вращается то мы заметим силу Кариолиса, а кое кто скажет что метрика кривая и у нас тут ОТО.

как различать метрику и кривую систему координат?

[вздымщик Цыпа]

AlexNew в сообщении #178719 писал(а):

как различать метрику и кривую систему координат?

По метрике построить тензор кривизны и посмотреть насколько он «кривой» безотносительно координат.

[AlexNew]

дело в том что мы не знаем метрика ли это, просто есть матрица, которую мы получили вращая вектора и мерея их проекции.

Представите черный ящик (внутри у него не понятно что)
мы даем ему 6 чисел (коорд. 2х векторов) а он нам число в замен одно число - скалярное произведение.
Этого достаточно чтобы поэкспериментировав построить матрицу, пользуясь которой мы сами сможем с успехом получать тотже скаляр.

теперь вопрос что внутри в ящике, хитрая метрика или кривые координаты?
какие функции добавить ящику чтобы узнать что у него внутри?

П.С.
книжки дурят голову, мешают думать.

[вздымщик Цыпа]

AlexNew в сообщении #178788 писал(а):

Представите черный ящик (внутри у него не понятно что)
мы даем ему 6 чисел (коорд. 2х векторов) а он нам число в замен одно число - скалярное произведение.
Этого достаточно чтобы поэкспериментировав построить матрицу, пользуясь которой мы сами сможем с успехом получать тотже скаляр.

В такой постановке задачи вопроса о кривизне нет. Кривизна — это не характристика в точке, а характеристика в окрестности точки. Чтобы говорить о кривизне Вам нужен другой ящик, которому на вход надо подавать 9 чисел, 6 прежних и 3 определяющих в касательном пространстве к какой точке надо вычислять скалярное произведение. Тем самым, Вы получите не матрицу чисел, а матрицу функций координат, частные производные которых и определяют кривизну.

[epros]

AlexNew писал(а):

как различать метрику и кривую систему координат?

Что это значит, "различать"? Система координат кривая тогда, когда компоненты метрического тензора зависят от координат. На зависят - значит координаты прямые.

[вздымщик Цыпа]

epros в сообщении #178835 писал(а):

Система координат кривая тогда, когда компоненты метрического тензора зависят от координат. На зависят - значит координаты прямые.

Не совсем так. Независимость компонент метрики от координат — достаточное условие нулевой кривизны, но вовсе не необходимое.

[AlexNew]

вздымщик Цыпа писал(а):

В такой постановке задачи вопроса о кривизне нет. Кривизна — это не характристика в точке, а характеристика в окрестности точки.

так ведь не о кривизне и речь.

меняя 6 чисел (координаты 2х векторов)
Например векторов перемещения, скорости, ...
мы будем получать ответ - одно число, через некоторое время мы найдем матрицу, с помошью кот. сможем сами предсказывать это число в данной точке.

Эта матрица будет определятся не только метрикой, но и системой координат в ящике.

Двигаться мы никуда не будем!, потому как метрика тоже может зависить от точки наблюдения, давайте сначала разберемся на месте, можно или нет отличить какой вклад даст метрика, а какой кривая система координат.

[epros]

вздымщик Цыпа писал(а):

epros в сообщении #178835 писал(а):

Система координат кривая тогда, когда компоненты метрического тензора зависят от координат. На зависят - значит координаты прямые.

Не совсем так. Независимость компонент метрики от координат — достаточное условие нулевой кривизны, но вовсе не необходимое.

Условие кривизны чего? Я вижу, что Вы говорите о кривизне пространства (в частности, про тензор кривизны), в то время как автор темы спрашивал про кривизну координат. Вы, часом, не путаете?

[Munin]

AlexNew
У вас неправильный взгляд на кривизну пространства, который выражается словами "система координат в ящике".

Ваш взгляд, коротко говоря, такой: сначала берётся некоторое пространство, заполняющее ящик, а потом в этом пространстве проводится сетка криволинейных координат, в которых записывается некоторая таинственная "метрика".

Это бывает в случае, когда криволинейные координаты вам знакомы, а искривлённые пространства - нет. Вы представляете себе только криволинейные координаты в обычном плоском пространстве. Вам нужно ознакомиться с началами дифференциальной геометрии. Искривлённое пространство следует себе представлять не как пространство, а как поверхность, на которой имеется некоторая внутренняя геометрия, искажённая криволинейной формой этой поверхности. Искривлённое пространство - это многомерное обобщение идеи такой поверхности.

Правильный взгляд получается такой: сначала берётся некоторая криволинейная поверхность, вместе со своей конкретной формой. Ящика ещё нет, более того, не всегда осмысленно можно его ввести как край такой поверхности. А что если поверхность с ручками и рукавами? Далее, форма этой поверхности задаёт абстрактную метрику - в том смысле, что метрика как понятие есть, как расстояние между любыми точками, но пока ещё никакой формулой не записано. Заметьте, метрика не может быть придумана дополнительно, метрика - следствие формы этой поверхности, и по сути, её выражение. И наконец, на этой поверхности как-то проводятся линии координат. Они не искривлены по отношению к каким-то "идеальным/исходным прямым линиям координат", потому что таких провести вообще нельзя. Так что они искривлены вообще, вынужденно. И в такой сетке координат можно уже записать метрику в виде формулы, и другие величины (связность, кривизну) - тоже в виде формул, связанных с координатами.

[вздымщик Цыпа]

AlexNew в сообщении #178860 писал(а):

Двигаться мы никуда не будем!, потому как метрика тоже может зависить от точки наблюдения, давайте сначала разберемся на месте, можно или нет отличить какой вклад даст метрика, а какой кривая система координат.

epros в сообщении #178868 писал(а):

Я вижу, что Вы говорите о кривизне пространства (в частности, про тензор кривизны), в то время как автор темы спрашивал про кривизну координат.

Не выходя за пределы одной точки, и касательного пространства в ней, ничего нельзя сказать ни о кривизне пространства, ни о криволинейности координат. Если Вы получили неединичную матрицу билинейной формы, то это лишь говорит о неортогональности базовых векторов, которые суть касательные к координатным линиям, а не о кривизне этих координатных линий. Точно так же ни о чем не говорит и единичная матрица, выдаваемая Вашим «черным ящиком».

[AlexNew]

Munin писал(а):

И наконец, на этой поверхности как-то проводятся линии координат. Они не искривлены по отношению к каким-то "идеальным/исходным прямым линиям координат"

имелось в виду что система координат внутри может быть произвольной, например метрика евклидовая а система координат сферическая.
Метрика на самом деле никак не связана с системой координат, метрика это скорее физическая штука, а система координат - дело вкуса рабочих сделавших черный ящик.

вздымщик Цыпа писал(а):

Если Вы получили неединичную матрицу билинейной формы, то это лишь говорит о неортогональности базовых векторов

это не так, например сферическая система координат в евклидовом пространстве даст не единичную матрицу.


Самое важное способ должен быть разделить, но возможно нужно добавить кое что к ящику!