пространственный 7-ми угольник

[SniperD]

Задача
Доказать, что существует пространственный не опуклый равносторонний 7-ми угольник, каждые соседние стороны которого перпендикулярны

P.s. я думаю что должно быть простое доказательство, но что-то никак не могу придумать
P.p.s. буду признателен за помощь

[Nilenbert]

Ну и что тут сложного? Тут можно просто пример построить. Если что - намекну, вот пример такого пространственного шестиугольника:$(0,0,1)-(1,0,1)-(1,0,0)-(1,1,0)-(0,1,0)-(0,1,1)$

Ой, что-то не то. Извиняюсь, выше я глупость сморозил.

[Nerazumovskiy]

надо доказывать что такого небывает.

[gris]

Если идти по рёбрам целочисленной решётки, то семиугольника не получится. Надо немного поворачивать в плоскости, перпендикулярной пройденному ребру.

[Nerazumovskiy]

если правильно поставить кординатые оси то очевидно что хоть одна из проекцый должна быть замкнутой. Тогда одна из проэкций точно квадрат. Тогда у нас остается 3 вершини которые лежать не на квадрате. Ну и как 3 точками замкнуть фигуру,если надо 3 точки спроэктировать на 2 оставшиеся плоскости?
Отсюда вывод что такого не бывает.

[Алексей К.]

Nerazumovskiy писал(а):

если правильно поставить кординатые оси то очевидно что хоть одна из проекцый должна быть замкнутой.

Любая проекция замкнута.

Nerazumovskiy писал(а):

Тогда одна из проэкций точно квадрат.

Совсем неочевидно.

[Yu_K]

Многоугольник или многогранник? Что значит не опуклый? Если это "не выпуклый" - то вроде речь идет о многограннике?

[Taras]

Это задача из заочки Киевского мехмата этого года, которая не закончилась!

[Yu_K]

Но построить пример для многоугольника в принципе не сложно - задаем 7 точек - (0,0,1) (0,0,0) (1,0,0) (1,y3,z3) и тд, потом выписываем условия ортогональности векторов, и условия равенства их длин (дальше Маткад, Мапле или что по душе) - получаем замкнутую ломаную - и даже есть варианты замкнутой кривой с плоскостью симметрии. Но конечно это не док-во - а только конкретный пример.

Но картинка сразу подсказывает идею простого док-ва.

[Nerazumovskiy]

Алексей К. писал(а):

Nerazumovskiy писал(а):

если правильно поставить кординатые оси то очевидно что хоть одна из проекцый должна быть замкнутой.

Любая проекция замкнута.

Nerazumovskiy писал(а):

Тогда одна из проэкций точно квадрат.

Совсем неочевидно.

как это? вы знаете другой правильний многоугольник на плоскости с углами по 90 градусов?

[PAV]

Taras в сообщении #178405 писал(а):

Это задача из заочки Киевского мехмата этого года, которая не закончилась!

SniperD, размещение задачи из еще не прошедших он-лайн и заочных олимпиад строго запрещено. Тема закрыта