Неравенство с3 ЕГЭ (неравенство с параметром)

[Айват]

Эта задача была предложена в этом году на ЕГЭ, хотел бы у вас спросить правильно ли решил, так как не уверен в правильности,и какие еще есть способы решения.
_____________________________________________________________

При каких значениях $a$ неравенство не имеет решений:

$\frac{a-(4sin{\sqrt{x-1}}-1)}{(3\sqrt[5]{x^3}+\sqrt{10}\sqrt[5]{x^{-3}}-3)-a}\leqslant 0$
Мое решение:
Я рассуждал так, неравенство неимеет решение тогда, когда числитель и знаменатель одинаковых знаков.
Первый случай.
$a-(4sin{\sqrt{x-1}}-1)\leqslant 0$
$(3\sqrt[5]{x^3}+\sqrt{10}\sqrt[5]{x^{-3}}-3)-a}\leqslant 0$
Нахожу ОДЗ. $x\geqslant 1$
Ввожу новую переменную $t=\sqrt[5]{x^3}$, учитывая, что $x$ больше единицы, то $t$ больше нуля.
Прихожу к новуму уравнению:
$\frac{3t^2-(3+a)t+\sqrt{10}}{t}\leqslant 0$ а так как $t$ всегда больше 0 то $3t^2-(3+a)t+\sqrt{10}\leqslant 0$ и отсюда выплывает, что какие бы мы $a$ не брали, неравенство все равно будет иметь решение(могу ли я так делать вывод?)
Второй случай.
$a-(4sin{\sqrt{x-1}}-1)\geqslant 0$
$(3\sqrt[5]{x^3}+\sqrt{10}\sqrt[5]{x^{-3}}-3)-a}\geqslant 0$
здесь уже вообще ничего не получается

[Brukvalub]

Айват в сообщении #177594 писал(а):

При каких значениях $a$ неравенство не имеет решений:

$\frac{a-(4sin{\sqrt{x-1}}-1)}{(3\sqrt[5]{x^3}+\sqrt{10}\sqrt[5]{x^{-3}}-3)-a}\leqslant 0$
Мое решение:
Я рассуждал так, неравенство неимеет решение тогда, когда числитель и знаменатель разных знаков.

Разве?

[Алексей К.]

Айват писал(а):

При каких значениях $a$ неравенство не имеет решений:

$\frac{a-(4sin{\sqrt{x-1}}-1)}{(3\sqrt[5]{x^3}+\sqrt{10}\sqrt[5]{x^{-3}}-3)-a}\leqslant 0$
Мое решение:
Я рассуждал так, неравенство неимеет решение тогда, когда числитель и знаменатель разных знаков.

А не наоборот? Варианты:
Неравенство НЕ ИМЕЕТ решениЙ
Неравенство ИМЕЕТ решениЕ

Заметьте, это не придирки буквоеда, а явная непонятка из-за плохо выбранных буковок, ибо у Вас помесь из двух вариантов.

[Айват]

Не понял. Вот задание:
При каких значениях а неравенство НЕ ИМЕЕТ решений?

Добавлено спустя 2 минуты 42 секунды:

Brukvalub
аааааааааааааааа...ступил...точно! Извините! сейчас все поправлю

Добавлено спустя 12 минут 36 секунд:

чет ваще я запутался....как его решить? может где-то я ошибаюсь...но у меня получается что при любых $a$ имеет смысл

[Nerazumovskiy]

Айват писал(а):

может где-то я ошибаюсь...но у меня получается что при любых $a$ имеет смысл

Не могу понять что тут написано, уточните.

При $a = \frac{-9+4\sqrt{30}}{12}$ решения точно не будет

[gris]

Задание из третьей части ЕГЭ, то есть задача немного нестандартная и "в лоб" не решается, тем более, что функции используются сложные.
Значит надо подумать.
Для начала посмотрите, в каких интервалах меняются значения выражений в скобках.
И ещё, на всякий случай. Приведённое неравенство при каждом значении $a$ может иметь решения относительно $x$ или не иметь. Нам нужны значения $a$, при которых решений нет, то есть при любых $x$ левая часть строго больше 0. Ну Вы это понимаете.

[Айват]

надумал..не знаю прально или нет анализирую эти фукнции прихожу к выводу, что неравнество не имеет решения лишь когда:
$a-(4sin{\sqrt{x-1}}-1)\geqslant 0$
$(3\sqrt[5]{x^3}+\sqrt{10}\sqrt[5]{x^{-3}}-3)-a}\geqslant 0$
Ввожу новую переменную
$\frac{3t^2-(3+a)t+\sqrt{10}}{t}\geqslant 0$
а так как $t$ всегда больше 0 то $3t^2-(3+a)t+\sqrt{10}\geqslant 0$
Эта функция больше нуля тогда, когда $D\leqslant 0$
Нахожу дискриминант $D=(3+a)^2-12\sqrt10\leqslant 0$
$(3+a-\sqrt[4]{1440})(3+a+\sqrt[4]{1440})$
$a\in[3-\sqrt[4]{1440} ;3+\sqrt[4]{1440}]$
Числитель же больше нуля при $a\in[3;frac)$
Ответ: $a\in[3;3+\sqrt[4]{1440}]$
Правильно?

[PAV]

Айват в сообщении #177916 писал(а):

неравнество не имеет смысла

Почему Вы упорно пишете "неравенство не имеет смысла"? Неравенство может иметь решения или не иметь их. Подозреваю, что от неправильного употребления терминологии происходит и часть Ваших непониманий. Не говоря уже о том, что при таких вольных выражениях можно наколоться на каких-нибудь устных или письменных экзаменах. Если Вы напишете или скажете про "смысл" имея в виду "решения", то формально это можно счесть за ошибку и не засчитать задание. Оно Вам надо?

[Айват]

PAV
Спасибо за замечание

[Алексей К.]

Ваш ответ $a\in[3;3+\sqrt[4]{1440}]\simeq[3;9.16]$
Но при $a=6$ неравенство имеет решение $x=1$. Ибо $\frac{7}{\sqrt{10}-6}<0$.
У меня на скорую руку получилось $[3;\sqrt{10})$.

[gris]

Посмотрите на эту задачу шире.
Неравенство имеет вид $\frac {a-g(x)} {f(x) - a} \leq 0$
Для конкретного $a$ неравенство имеет решение, если найдется такое значение $x$, что будут выполняться система неравенств
$a-g(x) \geq 0 \wedge f(x)-a <0$, либо
$a-g(x) \leq 0 \wedge f(x)-a >0$

Составим отрицание этого утверждения.
Для конкретного $a$ неравенство не будет иметь решений, если для всех х из области определения будет выполняться неравенство
$f(x) \leq a < g(x) $ либо
$f(x) \geq a> g(x) $
У нас $g(x)< f(x) $ для любых x. Поэтому неравенство не будет иметь решений для тех a, для которых
$f(x) \geq a> g(x) $

Осталось найти минимум $f(x)$ и максимум $ g(x) $

У Вас практически правильный ответ. Только при $a=3$ неравенство будет изредка превращаться в равенство, а это уже решение. Вот пользуясь Вашей хорошей заменой найдите минимум функции $f(x)$

Кстати, очень наглядно выглядит на грфиках. Неравенство не имеет решений, если прямая $y=a$ лежит строго выше нижнего графика, но не выше верхнего.

[Алексей К.]

Думал я так. Записал неравенство в виде $\dfrac{a-f(x)}{a-g(x)}\ge 0$. Потом прикинул графики функций $a=f(x)$ и $a=g(x)$ (при $x\ge 1$). Первая осциллирует себе между -5 и 3. Вторая монотонно возрастает от значения $g(1)=\sqrt{10}$ (я только на производную посмотрел). Ну, порисовал, посмотрел, и надумал то, что выше написал. Может, ошибся, --- вроде как на работе сижу, не туда гляжу...

Добавлено спустя 1 минуту 25 секунд:

Мы с grisом писали одновременно (я не видел его поста), а буковки почти одинаковые придумали!

[gris]

Телепатия! На самом деле верно.
Только тройка не входит, а корень из десяти прекрасно входит.
Ну есть значение $x=1$, при котором левая часть не существует. Не существует, значит $x=1$ не является решением.

[Алексей К.]

gris в сообщении #177937 писал(а):

Только тройка не входит,

Как же это? При $a=3$ числитель способен тыщу раз обнулиться, что бы там не творилось при этом в знаменателе.

[gris]

Я наверное запутанно написал

Я и имел ввиду, что при $a=3$ неравенство имеет решения. А именно $x=(\frac {\pi } {2}+2 \pi n) ^2 +1, n=0, n\in N$.

А при $a=\sqrt {10}$ неравенство не имеет решений.

Поэтому ответ $(3, \sqrt {10}]$