Подобрать сумму

[Mandel]

У меня есть функция
f(x,y)=a_0+(a_1\cdot x+b_1\cdot y)+(a_2\cdot x^2+b_2\cdot x\cdot y+c_2\cdot y^2)+(...)
Я аппроксимирую эту функцию такой суммой

$$\sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}\cdot f(\lambda_{k}\cdot x,\lambda_{k}\cdot y)$$

,где ,например,$n=4$
Допустим я хочу найти такую производную: df(x,y)/dx\cdot dy.Как известно:эта производная равна b_2
Соотвественно сумму я расписываю,привожу подобные и получается следующее:
a_0\cdot\sum\limits_{k=1}^n\lambda_{k}+(a_1\cdot x+b_1\cdot y)\cdot \sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^2+(a_2\cdot x^2+b_2\cdot x\cdot y+c_2\cdot y^2)\cdot \sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^3+...
Для того,чтобы получить b_2 надо приравнять степенные суммы наверно так:
\sum\limits_{k=1}^n\lambda_{k}=0,\sum\limits_{k=1}^n\lambda_{k}^2=0,\sum\limits_{k=1}^n\lambda_{k}=1
Дальше получаем a_2\cdot x^2+b_2\cdot x\cdot y+c_2\cdot y^2.
И как отсюда "выковырить" b_2.
Может представить сумму по-другому.А именно:
\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{m=1}^n \lambda_{k}\cdot \lambda_{m}\cdot f(\lambda_{k}\cdot x,\lambda_{m}\cdot y)
Или как-то по-другому.

[maxal]

Mandel писал(а):

У меня есть функция
f(x,y)=a_0+(a_1\cdot x+b_1\cdot y)+(a_2\cdot x^2+b_2\cdot x\cdot y+c_2\cdot y^2)+(...)
Я аппроксимирую эту функцию такой суммой

$$\sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}\cdot f(\lambda_{k}\cdot x,\lambda_{k}\cdot y)$$

,где ,например,$n=4$

То есть функция f аппроксимируется сама собой? И как понимать "аппрокимацию" в данном случае?

Mandel писал(а):

Допустим я хочу найти такую производную: df(x,y)/dx\cdot dy.Как известно:эта производная равна b_2

Надо понимать при x=0,\ y=0?

Mandel писал(а):

Соотвественно сумму я расписываю,привожу подобные и получается следующее:
a_0\cdot\sum\limits_{k=1}^n\lambda_{k}+(a_1\cdot x+b_1\cdot y)\cdot \sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^2+(a_2\cdot x^2+b_2\cdot x\cdot y+c_2\cdot y^2)\cdot \sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^3+...

А это откуда? У меня получается:

$$\left.\sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}\cdot \frac{\partial f(\lambda_{k}\cdot x,\lambda_{k}\cdot y)}{\partial x\partial y}\right|_{x=0,\ y=0} = b_2\cdot \sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^3.$$

[Mandel]

Забудьте про апроксимацию:это я сказал не подумав

Цитата:

А это откуда?

Мне не надо дифференцировать правую часть.Просто производная представляется в виде такой суммы!
Смотрите.
Я взял сумму в виде:
\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{m=1}^n \lambda_{k}\cdot\ \lambda_{m}\cdot f(\lambda_{k}\cdot x,\lambda_{m}\cdot y)
При n=2 у меня получается такие коэффициенты:
a0: \lambda_1^2+\lambda_2^2+2\cdot \lambda_1\cdot \lambda_2\\ a1,b1: \lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_1^2\cdot \lambda_2+\lambda_1\cdot \lambda_2^2\\ a2,c2: \lambda_1^4+\lambda_2^4+\lambda_1^3\cdot \lambda_2+\lambda_1\cdot \lambda_2^3\\ b2: \lambda_1^4+\lambda_2^4+2\cdot \lambda_1^2\cdot \lambda_2^2
При n=3 у меня получается такие коэффициенты:
a0: \lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2+2\cdot \lambda_1\cdot \lambda_2+2\cdot \lambda_1\cdot \lambda_2+2\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3\\ a1,b1: \lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3+\lambda_1\cdot \lambda_2^2+\lambda_1^2\cdot \lambda_2+\lambda_1\cdot \lambda_3^2+\lambda_1^2\cdot \lambda_3+\lambda_2\cdot \lambda_3^2+\lambda_2^2\cdot \lambda_3\\ a2,c2: \lambda_1^4+\lambda_2^4+\lambda_3^4+\lambda_1\cdot \lambda_2^3+\lambda_1^3\cdot \lambda_2+\lambda_1\cdot \lambda_3^3+\lambda_1^3\cdot \lambda_3+\lambda_2\cdot \lambda_3^3+\lambda_2^3\cdot \lambda_3\\ b2: \lambda_1^4+\lambda_2^4+\lambda_3^4+2\cdot \lambda_1^2\cdot \lambda_2^2+2\cdot \lambda_1^2\cdot \lambda_3^2+2\cdot \lambda_2^2\cdot \lambda_3^2\\

Ну и соответственно при b2 надо приравнять коэффициент к единице,а при остальных взять нуль.Затем приx=1,y=1 получиться b_2

Можно заметить,то что при n=2,n=3,n=4...(наверное) есть похожесть в коэффициентах при a0,a1,a2,b2,c2.Но как записать эти коэффициенты в более компактной форме??

[maxal]

Mandel писал(а):

Ну и соответственно при b2 надо приравнять коэффициент к единице,а при остальных взять нуль.Затем приx=1,y=1 получиться b_2

Зачем? Проще взять частную производную $\frac{\partial}{\partial x\partial y}$ и положить $x=y=0$.

Mandel писал(а):

Можно заметить,то что при n=2,n=3,n=4...(наверное) есть похожесть в коэффициентах при a0,a1,a2,b2,c2.Но как записать эти коэффициенты в более компактной форме??

Пусть $g(x,y)=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{m=1}^n \lambda_{k}\cdot\ \lambda_{m}\cdot f(\lambda_{k}\cdot x,\lambda_{m}\cdot y)$.
Коэффициент при $x^u y^v$ в ней равен
$\frac{1}{u!v!} \frac{\partial g}{\partial x\partial y}(0,0) = f_{u,v} \sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{m=1}^n \lambda_{k}^{u+1} \lambda_{m}^{v+1} = f_{u,v} \left(\sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^{u+1}\right) \cdot \left(\sum\limits_{m=1}^n \lambda_{m}^{v+1}\right),$
где $f_{u,v}$ - это коэффициент при $x^u y^v$ в функции $f(x,y)$.

Если хочется, чтобы $g(x,y)=f(x,y)$, то для $u,v=0,\dots,n-1$ получаются уравнения
$\left(\sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^{u+1}\right) \cdot \left(\sum\limits_{m=1}^n \lambda_{m}^{v+1}\right) = 1$
которые сводятся к $n$ уравнениям
$\sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^{u+1} = 1$, где $u=0,\dots,n-1$.

Например, для $n=2$ получается система:
$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$
$\lambda_1^2 + \lambda_2^2 = 1$
решением которой будет, например, $\lambda_1=1,\ \lambda_2=0$. Тогда
$g(x,y)=\lambda_1\lambda_1 f(\lambda_1 x,\lambda_1 y) + \lambda_1\lambda_2 f(\lambda_1 x,\lambda_2 y) + \lambda_2\lambda_1 f(\lambda_2 x,\lambda_1 y) + \lambda_2\lambda_2 f(\lambda_2 x,\lambda_2 y) =$
$=f(x,y).$

[Mandel]

А точно необходимо делить на u!\cdot v!.
Просто я попробовал при n=2 вычислить коэффициент при b_2,но получается,что мы делим на 2,хотя деление на это число вроде как не должно быть (проверял )

[Falex]

У меня может такой глобальный вопрос.Помогите его решить.
Пусть имеется некий многочлен P(x,y)=a_0+(a_1\cdot x+b_1\cdot y)+(a_2\cdot x^2+b_2\cdot x\cdot y+c_2\cdot y^2)
Рассматривается сумма вида:
(1) \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{m=1}^n\lambda_k\cdot \alpha_m\cdot P(\lambda_k\cdot x,\lambda_m\cdot y)= a_0\cdot S_x(1)\cdot S_y(1)+\\+(a_1\cdot S_x(2)\cdot S_y(1)\cdot x+b_1\cdot S_x(2)\cdot S_y(1)\cdot y)+(a_2\cdot S_x(3)\cdot S_y(1)\cdot x^2+b_2\cdot S_x(2)\cdot S_y(2)\cdot x\cdot y+c_2\cdot S_x(1)\cdot S_y(3)\cdot y^2)
Где S_x(m)=\sum\limits_{k=1}^n \lambda_k^{m}, S_y(m)=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k^{m}
Т.е. мы получаем,что параметр m всегда больше на единицу,чем степень при переменной x или y.
Теперь мы можем управлять этими суммами так,чтобы например найти $a_1$ или $b_1$ или $b_2$ и т.д.
Т.е. чтобы найти b_2 необходимо взять x=1,y=1,S_x(2)=1,S_y(2)=1,а всё остальное нуликами.
Но не в этом сейчас вопрос.
Ведь мы работаем с многочленом от действительных переменных!А,например,при решении такой такой системы:
\left\{ \begin{array}{l} S_x (1) = 0, \\ S_y (1) = 0, \\ S_x (2) = 1, \\ S_y (2) = 1, \\ S_x (3) = 0, \\ S_y (3) = 0, \\ S_x (0) = n, \\ S_y (0) = n, \\ \end{array} \right.
получаются комплексные корни.А теперь вопросик:Как создать сумму по типу (1),чтобы можно было бы управлять этой суммой и корни неких управляющих параметров были действительными числами.
Может задействовать другой многочлен?

Приведите $\LaTeX$ код к корректному виду. В соответствии с правилами. //Администратор cepesh.

[maxal]

Falex писал(а):

Т.е. чтобы найти b_2 необходимо взять x=1,y=1,S_x(2)=1,S_y(2)=1,а всё остальное нуликами.

Чтобы найти $b_2$ нужно взять частную производную $\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}$ и положить в ней $x=y=0$.
А вообще подобное уже обсуждали: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=2306

[Falex]

Хм...а если не брать производную а как бы аппроксимировать этой суммой.Вот в чем проблема.Можно ли аппроксимировать функцию некой суммой с помощью этой функции и набора множителей?

[maxal]

Falex писал(а):

Хм...а если не брать производную а как бы аппроксимировать этой суммой.Вот в чем проблема.Можно ли аппроксимировать функцию некой суммой с помощью этой функции и набора множителей?

Что значит "аппроксимировать" в данном случае?
Чётко сформулируйте задачу. Что дано и что нужно получить?

[Falex]

Надо подобрать такую сумму,чтобы с помощью неё можно было бы управлять (т.е. можно найти любой коэффициент входящий в многочлен) заданной функцией.Эта сумма должна включать в себя саму функцию и некий набор параметров.

[maxal]

Falex писал(а):

Надо подобрать такую сумму,чтобы с помощью неё можно было бы управлять (т.е. можно найти любой коэффициент входящий в многочлен) заданной функцией.Эта сумма должна включать в себя саму функцию и некий набор параметров.

Непонятно.
1. Заданная функция - это многочлен? Если нет, то о каком многочлене речь?
2. Что значит "найти любой коэффициент"? Чем не нравится дифференцирование как способ нахождения коэффициентов?

[Falex]

Вы правы :заданная функция и есть тот самый многочлен.

Цитата:

Чем не нравится дифференцирование как способ нахождения коэффициентов?

А вот не нравится...просто хотелось бы такой способ применить.
Любой коэффициент - в смысле a_0,a_1,b_1,c_2,...
Проблема в том,что то представление в виде суммы не подходит,т.к. при решении системы (1) получаются комплексные числа,а мы рассматриваем действительные переменные.
Может использовать вспомогательный многочлен или т.п.

Приветствуются все решения и предложения.

[Falex]

Т.е. надо составить такую функцию (пока её вид не определён,но она должна представляться в виде суммы):
M(\lambda,\alpha,...,x,y,P(x,y))=a_0\cdot S_1+(a_1\cdot x+b_1\cdot y)\cdot S_2+(a_2\cdot x^2+b_2\cdot x\cdot y+c_2\cdot y^2)\cdot S_3
где S_1,S_2,S_3 - некие многочлены,некие суммы т и.п.,т.е. $S_k=S_k(\lambda,\alpha,...)$ или $S_k=S_k(\lambda,\alpha,x,y,...)$
т.е. получающиеся в результате разложения функции M,но корни этих неизвестных коэффициентов S_1,S_2,S_3 должны быть действительными

[Falex]

Ну что - есть идеи или нет?

[Falex]

Как мне разложить такое выражение по биному Ньютона:
\sum\limits_{k=1}^n(z+\lambda_k)^{m+1}

Ну или для начала:
(z+\lambda_k)^{m+1}