Жорданова форма.

[.alexey]

В учебниках сначала обычно дается вид жордановой матрицы.

A_\lambda=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\\end{pmatrix} J = \begin{pmatrix} A_{\lambda_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_{\lambda_2} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots& \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots& 0 & A_{\lambda_p} \\ \end{pmatrix}

Отсюда можно сделать вывод, что жоржанову форму можно найти, посчитав только собственные значения. Но вывод то скорее всего не правильный. Учебники почему то умалчивают об этом.

Но потом дается способ нахождения Жордановой формы матрицы через нахождение корневых и циклических(правильно? или как называются подпространства, которые состовляют корневое) подпространств и построение жордановой лестницы.

Как это всё понимать? Почему либо несмотря на то, что из собственных значений нельзя построить жорданову форму, её пишут в учебниках состоящей из собственных значений, либо , если всё таки можно, то зачем вообще нужно жорданова лестница?

[alleut]

Жорданова форма определеяется характеристическим и минимальным многочленами матрицы (первый делится на второй нацело): размер клетки для одного собчисла не превосходит кратности вхождения этого числа в минимальный многочлен.
Ну а нужна она потому, что это одна из простейших матриц, эквивалентных данной.

[vlad239]

.alexey писал(а):

Отсюда можно сделать вывод, что жоржанову форму можно найти, посчитав только собственные значения. Но вывод то скорее всего не правильный. Учебники почему то умалчивают об этом.

Но потом дается способ нахождения Жордановой формы матрицы через нахождение корневых и циклических(правильно? или как называются подпространства, которые состовляют корневое) подпространств и построение жордановой лестницы.

Как это всё понимать? Почему либо несмотря на то, что из собственных значений нельзя построить жорданову форму, её пишут в учебниках состоящей из собственных значений, либо , если всё таки можно, то зачем вообще нужно жорданова лестница?

Дело в том, что некоторые из $\lambda_i$ могут совпадать. Например, если есть всего одно собственное число кратности 3, жорданова форма может иметь три клетки ($1+1+1$), две ($2+1$) или всего одну клетку.

Поэтому знать собственные числа необходимо, но недостаточно.

Влад.