Квадрат и четыре жука.

[yk2ru]

Четыре жука одновременно начали ползти из вершин квадрата $ABCD$ со стороной $a$ с одинаковой скоростью $v$. Жук , стартовавший из вершины $A$, ежемоментно ползёт строго в сторону жука, стартовавшего из вершины $B$. Также жук , стартовавший из вершины $B$, ежемоментно ползёт строго в сторону жука, стартовавшего из вершины $C$. Также жук , стартовавший из вершины $C$, ежемоментно ползёт строго в сторону жука, стартовавшего из вершины $D$. И также жук , стартовавший из вершины $D$, ежемоментно ползёт строго в сторону жука, стартовавшего из вершины $A$. Какое расстояние проползёт каждый из жуков, пока они не встретятся?

[maxal]

Легко решается через нахождение скорости сближения двух соседних жуков, как и аналогичная задача с треугольником вместо квадрата.

[Батороев]

Векторное сложение скоростей двух соседних жуков.
А вот траектория, на мой взгляд, Архимедова спираль.

Добавлено спустя 26 минут 25 секунд:

Нет, траектория - логарифмическая спираль.

В любой момент времени положение жуков определяется, как вершины правильного многоугольника. Радиус-вектор спирали лежит на биссектрисе угла такого многоугольника. Вектор скорости (касательная к траектории) - под постоянным углом к биссектрисе.

[yk2ru]

В каждый момент времени жуки находятся на вершинах чуть меньшего квадрата, так ведь?

Осталось разве что написать формулы для затраченного времени и пройденного расстояния, обобщив это дело на правильные многоугольники (для 3, 4, 5 и т.д. сторон).

А вид кривой/траектории зависит ли от количества сторон?

[Батороев]

maxal на примере правльного треугольника и я отметили то, что необходимо сложить вектора скоростей двух соседних жуков.
В случае, когда в основе задачи лежит правильный многоугольник - квадрат, то т.к. вектора скоростей соседних жуков перпендикулярны, то векторная сумма их скоростей по одному из рассматриваемых направлений равна $ v $.
Следовательно, расстояние $a$ между жуками сократится до нуля за время $ t=\dfrac {a}{v} $.

Да. Вид траектории зависит от количества сторон правильного многоугольника, а точнее, от половины угла между соседними его сторонами.

[Руст]

Батороев писал(а):

Следовательно, расстояние $a$ между жуками сократится до нуля за время $ t=\dfrac {a}{v} $.

Да. Вид траектории зависит от количества сторон правильного многоугольника, а точнее, от половины угла между соседними его сторонами.

Для n жуков радиальная скорость в сторону центра равна $v\sin\frac{\pi}{n}$. а сторона многоугольника $a=2R\sin\frac{\pi}{n}$, поэтому необходимое время до встречи есть
$\frac{R}{v\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2v}$, т.е. в два раза меньше (когда жук проходит половину стороны они все встречаются).
Вид траектории один и тот же (спираль) с точностью до коэффициента радиального сжатия.

[TOTAL]

Руст писал(а):

поэтому необходимое время до встречи есть
$\frac{R}{v\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2v}$, т.е. в два раза меньше (когда жук проходит половину стороны они все встречаются).
Вид траектории один и тот же (спираль) с точностью до коэффициента радиального сжатия.

$$t=\frac{R}{v\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2v \sin^2\frac{\pi}{n}}$$

- настоящий жук ползёт медленно.

[yk2ru]

Эта формула для времени даст правильный результат и для $n = 2$, когда жуки ползут друг другу на встречу. Только вот траектория уже не спираль.
Векторно скорости складываем или всё же вычитаем?

[Батороев]

yk2ru писал(а):

Векторно скорости складываем или всё же вычитаем?

Скажем вернее.
"Находим скорость сближения жука 1 к жуку 2".
Согласно преобразованиям Галилея:
Если скорость жука 1 в системе отсчета "земля" была $\vec v_1 $, а скорость системы отсчета "жук 2" относительно системы отсчета "земля" $\vec v_2 $, то скорость жука 1 при переходе в систему отсчета "жук 2" равна $ v' = \vec v_1 - \vec v_2 $.