ТерВер. Проверьте правильность решения.

[--mS--]

gris писал(а):

Неопровержимый ответ к задаче:
$P(m,n) = (1-G(m+1))\cdot(1-G(m+2))\cdot(1-G(m+3))...\cdot(1-G(m+n))$

Прошу прощения за вмешательство, но вывод совершенно непонятен. Вы сравниваете вероятности, полученные по двум разным формулам. При этом подставляете в них заданные $G(k)$. Но в Вашей формуле и в формуле Henrylee через $G(k)$ обозначены разные вероятности. С очевидностью, если по-разному трактовать $G(k)$, получатся разные ответы. Но один в другой преобразуется, если и то, и другое в терминах $\tau$ изобразить.

[gris]

Совершенно верно! Поэтому-то я и оговаривал, что формула годится именно при моей формализации задачи. И получается, что наша дискуссия перешла в чисто филологическую область.
Я предполагаю, что в $G(k)$ подразумеваются $k$ применений с начала использования. Я предполагаю, что слова "использование" и "применение" означают одно и то же. А если это не оговорено, то задача эта не математическая, а на смекалку. Я вот смекну, что применение это одно, а использование - совершенно другое. И попробуйте мне доказать что-либо.

Отступлю от темы. Недавно разговаривал с одним логиком. Он утверждал, что в логическом тесте, который недавно по интернету просвистел, допущена ошибка.
Суть такая. "Собрались злянкие и вальные шершавчики. Ваня злянкий шершавчик. Можно ли утверждать, что он вальный?"
В русском языке союз "и" может выполнять функцию логического умножения (собрались сильные и ловкие ребята), либо сложения (собрались белобрысые и черноволосые ребята). В каждом случае мы интуитивно чувствуем, что имеется ввиду. Слов "злянкие и вальные" в русском языке нет. Поэтому мы должны рассматривать выражение как логическое высказывание, в котором "и" означает "одновременно и злянкие и вальные".

А задачу про приборы даже формализовать однозначно нельзя. И пусть автор её выпьет яду и об стенку убьётся. Впрочем, я думаю, что мы имеем дело не с оригинальным текстом задачи, а с её вольным пересказом.
И покажите мне формулу, которая работает с абсолютно надёжным прибором. Там всё вероятности выхода из строя в любой трактовке - и условные, и безусловные - равны 0. А вероятность невыхода из строя - 1. Моя - работает.

[AD]

gris в сообщении #175731 писал(а):

Собрались злянкие и вальные шершавчики. Ваня злянкий шершавчик. Можно ли утверждать, что он вальный?

Не понял. А кто сказал, что Ваня - в числе собравшихся?

[gris]

AD писал(а):

Не понял. А кто сказал, что Ваня - в числе собравшихся?

А кто сказал, что я вообще что-то сказал про Ваню? Я его и не имел ввиду

[AD]

Ну то есть тогда первое предложение вообще к делу отношения не имеет, и сказать вообще ничего нельзя. Независимо от интерпретации союза "и".

[gris]

Вот то же самое и в задаче про приборы. Тут тоже можно сказать - ну ясно же, что имелось ввиду, что Ваня в числе собравшихся, ну неужели непонятно.
Да, нам непонятно! И мы берём в руки BFG2000!!!

А в вопросе про Ваню совершенно точно можно ответить "Нельзя." Нельзя утверждать, что он забыл уже какой.

[AD]

Лан короче.

[gris]

Это тоже неверное утверждение. Существуют LAN, которые длинее некоторых WAN.

[--mS--]

gris писал(а):

И покажите мне формулу, которая работает с абсолютно надёжным прибором. Там всё вероятности выхода из строя в любой трактовке - и условные, и безусловные - равны 0. А вероятность невыхода из строя - 1. Моя - работает.

А чем не устраивает формула $\mathsf P(\tau\leqslant m+n \bigm| \tau>m)=\dfrac{G(m+n)-G(m)}{1-G(m)}$? При $G(k)\equiv 0$ она даёт нулевую вероятность.

Никак не могу вспомнить, откуда задача - а ведь точно попадалась где-то... Кто помнит, помогите склеротику

Upd:
Пришлось склеротику самому себе помогать "Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы" (под ред. А.В.Ефимова), 1984, задача 1.169. В целом очень неплохой задачник, мне нравится.

[gris]

--mS-- писал(а):

] она даёт нулевую вероятность.

Ну а должна-то давать единичку. Ведь это вероятность того, что прибор не выйдет из строя. Он же никогда не выйдет.

[--mS--]

gris писал(а):

--mS-- писал(а):

] она даёт нулевую вероятность.

Ну а должна-то давать единичку. Ведь это вероятность того, что прибор не выйдет из строя. Он же никогда не выйдет.

Нет, это вероятность прибору выйти из строя не позже испытания с номером $n+m$ при условии, что в течение первых $m$ испытаний прибор из строя не вышел. И нулю эта вероятность равна, как и должно.

[gris]

БЛИН!!!!
Я совсем не так прочитал условие. Я искал вероятность, что прибор НЕ выйдет из строя.
Ну всё... Я очень расстроен. Очень. Очень. Очень.
Не могу думать даже.

Добавлено спустя 6 минут 39 секунд:

Henrylee писал(а):

ответ в конце верный.
Но это ответ, не на тот вопрос, который задан. Задан был, по-моему

$$ P\{m<\tau\leqslant m+n|\tau>m\} $$

то есть отнимаем то, что получилось, от единицы.

Я это пропустил мимо ушей!!! Мне стыдно, стыдно, стыдно.
Я больше не буду.

[Henrylee]

gris писал(а):

Henrylee, я не понимаю, к чему относится Ваш вопрос

Мой вопорс относился к тому, как Вы из эмпирических данных вытащите значения Вашей функции $G$ (для определенности, обозначим ее $G_P$)?

gris писал(а):

я представляю формулу, основанную на нашем с Вами $\tau$-диалоге:

gris писал(а):

И, наконец,

$$P\{\tau>m+n|\tau>m\}=P\{\tau>m+1|\tau>m\}\cdot P\{\tau>m+2|\tau>m+1\}\cdot P\{\tau>m+3|\tau>m+2\}\cdot...\cdot P\{\tau>m+n|\tau>m+n-1\}$$

С этой формулой (в Вашей трактовке задачи) я не спорю. Она верна. Только еще раз обращаю Ваше внимание на то, что в задаче спрашивалось о другой вероятности (см. выше)

эта формула:

gris писал(а):

$P(m,n) = (1-G(m+1))\cdot(1-G(m+2))\cdot(1-G(m+3))...\cdot(1-G(m+n))$

говорит о вероятности того, что прибор проживет дольше, чем $m+n$ применений. А в задаче спрашивалось о вероятности того, что прибор загнется до шага $m+n$ при условии, что проживет дольше $m$. Поэтому в Ваших последующих примерах, полученные по Вашей формуле вероятности нужно отнимать от 1.


Кстати, в примерах Вы не различаете $G_P$ и $G_R$, а надо бы.

gris писал(а):

Задача: Я смотрю на прибор. На нём бумажка: "прибор использовался 5 раз и цел пока", а на другой бумажке написано: $G(4)=0,6, G(5)=0,7, G(6)=0,8$.


Теперь возьмём абсолютно безотказный прибор. Для любого $k$ $G(k) = 0$
$P(5;1) =(1-G(6))=1$

$$R(5;1) =\frac{G(6)-G(5)}{1-G(5)}= 0$$

Для безотказного прибора, согласен, $G_P=G_R=0$. С учетом моей поправке выше, обе формулы дают ноль (то есть прибор не сломается после $n$ шагов, независимо от того, что мы понимаем под $G$)

gris писал(а):

Теперь возьмём прибор с постоянным старением. Для любого $k$ $G(k) = 0.5$
$P(2;2) =(1-G(3))\cdot(1-G(4))=0.25$

$$R(2;2) =\frac{G(2)-G(4)}{1-G(2)}= 0$$

Что такое "постоянное старение" Вы не определили. Ну даже пусть я интуитивно понял. Может быть $G_P$ и будет константой. Но $G_R$ для такого прибора уж точно будет, полагаю, строго возрастать, и подставлять во вторую формулу константу не стоит.

Тем более не стоит за следствие этой подстановки выдавать следующее утверждение:

gris писал(а):

Неопровержимый ответ к задаче:
$P(m,n) = (1-G(m+1))\cdot(1-G(m+2))\cdot(1-G(m+3))...\cdot(1-G(m+n))$

Если Вы по-прежнему настаиваете на своей трактовке функции $G$, то, повторюсь, с формулой я согласен, только все же не забудьте отнять от единицы.

Добавлено спустя 5 минут 20 секунд:

Когда начал писать ответ, не видел последющих постов. Поэтому родилась добавочка.
gris, в пользу своей трактовки Вы, кажется, приводили практическое использование. А я хочу сказать как раз о том, что это бессмысленно, ибо.. (см вопрос о тома, как Вы вытащите Вашу $G$ из эмпирических данных) Именно поэтому Ваша трактовка не лучше других. (хотя, вероятно и не хуже). Вот я о чем.

Добавлено спустя 4 минуты 52 секунды:

Да, ряд вопросов закрыт, ибо уже разобраны в предыдущих постах

[gris]

Henrylee, я трагически ошибся. Представляете, когда я прочитал условие в первый раз, то у меня глюк что-ли был... Я был уверен, что надо найти вероятность того, что прибор НЕ выйдет из строя. И в страшной самоуверенности я не удосужился прочитать его хотя бы ещё раз. Урок мне на будущее.
Тем не менее... Сегодня я деморализован, а завтра отвечу Вам на вопросы, прочитайте пожалуйста. Теперь я уж обдумаю всё хорошо.

[Алексей К.]

gris в сообщении #175810 писал(а):

Сегодня я деморализован

Любезный gris, надеюсь, Ваша деморализация предполагает смайлик. Ибо глюк и подобные штучки никак не есть повод для реальной деморализации. Тем более в такой дружелюбной обстановке.
Типа всем хорошего воскресенья!