Собственный вектора матрицы

[LMZiushka]

есть матрица:

$$ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k \\ 0 & k & 1 \end{array} $$

нужно найти собственные вектора. Абсолютно не знаю как это делается в ручную, в Математике сделал так:

Orthogonalize[Eigenvectors[{{1, 0, 0}, {0, 1, k}, {0, k, 1}}]]

получил:
$\{1, 0, 0\}, \{0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\}, \{0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\}$

в ответе так:
$\{1, 0, 0\}, \{0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\}, \{0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

спасибо за помощь.

[AD]

LMZiushka в сообщении #175719 писал(а):

Абсолютно не знаю как это делается в ручную

По определению собственного вектора.

LMZiushka в сообщении #175719 писал(а):

в ответе так:

Ответы сходятся. Если $\vec{x}$ - собственный, то для любого числа $\alpha\neq0$ вектор $\alpha x$ тоже собственный. Порядок векторов роли не играет.

[LMZiushka]

AD писал(а):

Ответы сходятся. Если $\vec{x}$ - собственный, то для любого числа $\alpha\neq0$ вектор $\alpha x$ тоже собственный

но там знак у компонент разный

[Danila88]

"Напишем теперь уравнение
$D(A-\lambda)=0$, которое называется характеристическим уравнением матрицы $A$, а его корни- характеристическими числами, или собственными значениями матрицы $A$"

В.И Смирнов "К.В.М" т.3 ч.1

[GAA]

LMZiushka писал(а):

AD писал(а):

Ответы сходятся. Если $\vec{x}$ - собственный, то для любого числа $\alpha\neq0$ вектор $\alpha x$ тоже собственный

но там знак у компонент разный

Обозначим первый набор векторов через $x$, а второй через $y$, т.е.
$x_1 = \left\{1, 0, 0\right\}$, $x_2 = \left\{0, \frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$, $x_3 = \left\{0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}}\right\}$;
$y_1 = \left\{1, 0, 0 \right\}$, $y_2 = \left\{0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$, $y_3 = \left\{0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right\}$.
Тогда $x_2 = - y_3$, т.е. все именно так, как сказал AD.

[Munin]

LMZiushka в сообщении #175723 писал(а):

но там знак у компонент разный

Сравните второй вектор Mathematica с третьим вектором из ответа.

[AD]

LMZiushka в сообщении #175723 писал(а):

но там знак у компонент разный

Ну то есть тогда придется сначала выучить, что такое "умножить вектор на число" ...