Суммы факториалов почти никогда не являются степенями

[Macavity]

Несложная задача, хотя сразу не сообразил...

Докажите, что число $\sum\limits_{i=1}^{n}{i!}$, $(n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2)$ нельзя представить в виде $m^k$, $(m,k \in \mathbb{N}, m > 3).$

[Руст]

Это детская задача. Только забыли указать $k>1$.
При n=3 получаем $9=3^2$, при n=4 $S(n)=\sum_{i=1}^n i!=33$, $S(5)=153=9*17$, при $n=6$ $S=873=9*97$, при n=7 $S=5913=3^4*73$, при n=8 $S=46233=3^2*11*467$.
Значит при $n\ge 9$ $S(n)=9*(7+9k)$, т.е. возможно только $k=2$. Так как при $n\ge 4$ $S(n)=3\mod 5$ не является квадратичным вычетом и этот случай исключается.

[Macavity]

Я немного по другому.

1) Поскольку $\sum\limits_{i=1}^{n}{i!}=10x+3$, для всех n>3, то эта сумма не может быть квадратом и вообще четной степенью ($m^{2k}$).

2)Осталось проверить для нечетных степеней.
Заметим, что $\sum\limits_{i=1}^{n}{i!}=0 (mod 3)$.
Отсюда следует, что должно быть $\sum\limits_{i=1}^{n}{i!}=0 (mod 27)$.
И тогда для n>8:
$\sum\limits_{i=1}^{n}{i!}=\sum\limits_{i=1}^{8}{i!}+\sum\limits_{i=9}^{n}{i!}=9(mod27)+0(mod27)=9(mod27)$.
Для случаев n<9 легко проверяется.

[Sonic86]

Еще одна легкая задача:
$n!=k^m, n,k,m \in \mathbb{N}б m>1$.
Я ее решил, но я использовал одно известное нетривиальное утверждение. Хотелось бы увидеть решение, не ссылающееся на подобные утверждения.

[ИСН]

Если то была детская, то это младенческая. Грубо говоря, между n/2 и n есть одно (обычно даже не одно) простое число. Оно входит в первой степени. Ўсё.

[worm2]

ИСН писал(а):

...между n/2 и n есть одно (обычно даже не одно) простое число.

Это и есть то самое нетривиальное утверждение.
Школьник самостоятельно такое не докажет.

[Imperator]

Докажите, что $C_{n}^{k}$ при $n \geqslant 2k$ всегда имеет простой делитель $p>k$.

[Macavity]

worm2 писал(а):

ИСН писал(а):

...между n/2 и n есть одно (обычно даже не одно) простое число.

Это и есть то самое нетривиальное утверждение.
Школьник самостоятельно такое не докажет.

Видимо речь идет о постулате Бертрана?

Кстати, его доказательство можно найти в книге, на которую давал ссылку maxal - М.Айгнер, Г.Циглер. Доказательства из Книги.
Причем в названии этой темы форума я также неявно ссылался на эту книгу (хоть в книге задача посложнее).

Imperator писал(а):

Докажите, что $C_{n}^{k}$ при $n \geqslant 2k$ всегда имеет простой делитель $p>k$.

Теорема Сильвестра?

[Sonic86]

Насчет утверждения - да, это постулат Бертрана.

[Macavity]

Тогда может быть ещё задачу?
Я немного переделал одну детскую задачу (привел к текущему моменту). От этого она не перестала быть детской, но вопрос в том не ошибся ли я и каково решение:

Докажите, что число $\sum\limits_{i=1}^{2009}{i^i}$ нельзя представить в виде $m^k$, $(m,k \in \mathbb{N}, k \geqslant 2).$