Тригонометрия и геометрия.

[STilda]

В школе учат, косинус $x$ это отношения длине прилежащего катета к длине гипотенузы. Тут полагается $x$ это угол в радианах, действительное число. Есть формула Эйлера и в ней есть тоже косинус и синус. Тут уже про треугольники речи не идет. Не могу понять как один синус связан со вторым синусом. Это первый вопрос.
Есть определение через степенной ряд. Но тогда нет ограничения на то, что $x$ - действительное число. Возьмем комплексное, и тогда имеем потерю связи с геометрией. Интерпретация что $x$ это угол теряется. Какая геометрия в косинусе если аргумент комплексный?

[вздымщик Цыпа]

STilda в сообщении #174506 писал(а):

Есть формула Эйлера и в ней есть тоже косинус и синус. Тут уже про треугольники речи не идет. Не могу понять как один синус связан со вторым синусом. Это первый вопрос.

$|r\cos\varphi|$, $|r\sin\varphi|$ и $|r| = |r e^{i\varphi}|$— это длины сторон прямоугольного тругольника.

STilda в сообщении #174506 писал(а):

Какая геометрия в косинусе если аргумент комплексный?

Можно считать, что никакой. Однако, эта функция существует, единственна и совпадает с «геометрическим» косинусом на вещественных значениях аргумента. Потому логично называть ее так же.

[STilda]

вздымщик Цыпа в сообщении #174677 писал(а):

совпадает с «геометрическим» косинусом на вещественных значениях аргумента

Как доказать что она совпадает?

[вздымщик Цыпа]

STilda писал(а):

вздымщик Цыпа в сообщении #174677 писал(а):

совпадает с «геометрическим» косинусом на вещественных значениях аргумента

Как доказать что она совпадает?

Степенные ряды совпадают, значит и значения совпадают. То, что «геометрическому» косинусу соответствует именно этот ряд доказать легко, поскольку он решение диффернциального уравнения $y'' + y = 0\quad y(0) = 1\quad y'(0) = 0$. Это уравнение можно составить из геометрических соображений.

[STilda]

Что то сложно очень. Не верится.

[вздымщик Цыпа]

STilda в сообщении #174990 писал(а):

Что то сложно очень. Не верится.

Не очень. Начните с $\sin'(x) =\cos(x)$ и $\cos'(x) = -\sin(x)$.

[Алексей К.]

STilda писал(а):

В школе учат, косинус $x$ это отношения длине прилежащего катета к длине гипотенузы. Тут полагается $x$ это угол в радианах, действительное число. [...] Какая геометрия в косинусе если аргумент комплексный?

Чисто пример без катетов и гипотенуз, на ответ не претендующий. Берём две окружности радиусов $R_1,R_2$ и межцентровым расстоянием $L$. Угол их пересечения $\psi$, если не ошибаюсь, определяется равенством $\cos\psi=\dfrac{R_1^2+R_2^2-L^2}{2R_1R_2}$. Раздвигаем их (или сдвигаем, меняем $L$), угол пересечения становится мнимым $\mathrm{i}\delta$ (или $\pi+\mathrm{i}\delta$; косинус, заметим, остаётся действительным, если сами окружности действительны).

[gris]

STilda писал(а):

Что то сложно очень. Не верится.

Более того, $\sin(z)$ это единственная аналитическая функция, которая совпадает с $\sin(x)$ на $R$. Ещё она может принимать любые значения, хоть $26\sqrt{3}$. Я тоже этому долго не верил. А функция $e^z$ периодическая.

[STilda]

А еще $\cos(x)=\ch(x)$ на мнимой оси. И $\sin^2(x)=-\sh^2(x)$ на мнимой оси.
А если взять полярные координаты в объеме. Имеем два угла. Пусть радиус равен 1. Берем эти два угла как мнимую и действительную составляющую комплексного угла. $\alpha=\psi+i \theta$. А тогда будет ли разумным $\cos(\alpha)$. Мысли в слух.
А как связать треугольник с диф уравнением еще не понял.

[вздымщик Цыпа]

STilda в сообщении #175541 писал(а):

А как связать треугольник с диф уравнением еще не понял.

Ну ладно. Во всяком случае, это Вам надо явно не для зачета, а из любопытства

Рисовать мне лениво, так что буду рассказывать словами. Рассмотрим стандартный рисунок: единичная окружность с центром в начале координат. Прямая, проходящая через начало координат под углом $\varphi$ к оси $Ox$ пересекает окружность в точке $A$ (неважно, что в двух, нам интересна одна). Смотрим проекции отрезка $OA$ на оси. Теперь проводим прямую под углом $\varphi +\Delta\varphi$. Она пересекает окружность в точке $A'$. С отрезком $OA'$ тоже, что и с предыдущим. Теперь посмотрим на окрестность точек $A$ и $A'$. Наблюдаем там прямоугoльный треугольник, который с точностью до $o(\Delta\varphi)$ подобен исходному. Его катеты какие? Устремляем $\Delta\varphi \to 0$. Получаем.

[Алексей К.]

STilda писал(а):

А еще $\cos(x)=\ch(x)$ на мнимой оси.

Неверно: например, $0.5403\simeq\ch\mathrm{i}\not=\cos\mathrm{i}\simeq 1.5431$.
Правильно $\cos(\mathrm{i}x)=\ch(x)$. Без упоминания о каких-то осях.

[STilda]

Алексей К. писал(а):

Правильно $\cos(\mathrm{i}x)=\ch(x)$. Без упоминания о каких-то осях.

Точно.
Свои зачеты уж отсдавал, так что не волнуйтесь, я не шпиён )). С дифуром понятно. Да уж, чего только не навыдумывают люди. Не помнится чтоб такое встречалось.Спасибо.